计算方法复习与思考
第一章 误差内容：典型题例：一、填空题：1、误差一般有四种类型，但在计算方法中主要讨论的是_ 和 。2、模型的准确解与用数值方法求得的解之差称为 。3、若 =3587.64 是 x 的具有六位有效数字的近似值，那么*x它的误差限是 ；相对误差限是 。4、若 =315.46 是 x 的具有五位有效数字的近似值，那么*x它的误差限是 ；相对误差限是 。5、设 x>0,x 的相对误差限为 ，那么 lnx 的绝对误差限为 。6、设 x 的相对误差为 %，那么 的相对误差限为 nx。二、选择题：1、以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为的是 。3025.A.-2.20 B.0.2200 C.0.01234 D.-12.342、数值 x*=2.197224577的六位有效数字的近似值 x= 。A.2.19723 B.2.19722 C.2.19720 D.2.1972253、已知自然数 e=2.718281828459045，取 e2.71828，那么 e 具有的有效数字是 。A.5 位 B.6 位 C.7 位 D.8 位三、计算题：（注意事项）四、证明题：（误差、误差限与有效数字位的关系）第二章 插值法与数值微分内容：典型题例：一、 选择题1、过点 两点的线性插值基函数),(),(10yx满足 。10lxlA. B.)(,)(010l 0)(,)(110xlxlC. D.xl2、下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件是 。A. ),10(,)( nkyxPkB.P(x)在a,b上连续C. P(x)在各子区间上是线性函数D.P(x)在各节点处可导3、区间a,b上的三次样条插值函数是 。A.在 a,b上 2阶 可 导 ， 节 点 的 函 数 值 已 知 ， 子 区 间 上 为3次 多 项 式 ； B.在a,b上连续的函数；C.在a,b上每点可微的函数；D.在每个子区间上可微的多项式。 二、填空题：1、如果设 ，则在（0，1） ， （1，4） ，2)(xxf（2，9） ， （3，16）四点对 使用牛顿插值，则插值)(xf函数为 ；如果设，那么 3,2,1,0xx ,210xf； 。32f2、如果设 ，则在（0，-5） ， （1，-6） ，5)(（-1，-2） ， （-2，3）四点对 使用牛顿插值，则插值函)(xf数为 ；如果设，那么 ；2,1,0321xx ,210xf。3f3、在 Hermite 插值中，在 这个点上构造的两个插值基函0数为 _ 和 )(0xh )(0xH，在 这个点上构造的两个插值基函数为： 1 )(1h和 。)(H4、若过三个点 作二次插值多项式，并取210,x，则 微商 hxx12 )()(2x；其截断误差分别为： ， 02R )(12xR， 。)(2R5、设在区间a,b上取 n+1 个节点 ，bxan10给定这些点上的函数值 ，若要构),()(iyxfi 造一个三次样条插值函数 ，则 必须满足条件：SS（1） ；(2)在每个小区间 上是一个 次多项式；（3） ,1ix。三、计算题1、取节点 ， ， 对函数 分别使0x1x21xxey用拉格朗日插值法、牛顿插值法产生二次插值多项式。2、设 ，在 x=100,121,144 三处的值很容易求得的，y试以这三点建立 的二次拉格朗日型和牛顿型插值多xy项式。3、取节点 ， ， 对函数 分别0x1x21x21xy使用拉格朗日、牛顿插值法产生二次插值多项式。四、证明题：如：2.2，2.4第三章 数据拟合法内容：典型题例：一、填空题：1、数据拟合法的具体方法是：使用 原理，建立 方程组。2、在数据拟合中，经验函数 ，它不能通过2cxbay变量替换化成直线，但可作变换 ，就化为包含两个自变量的数据拟合。3、数据拟合法总是在一组选定的基函数上构造基函数的线性组合，并从这个组合函数类中对给定数据找出最好的拟合曲线。例如：线性拟合，则是在基函数 上构造一次函数类，找出对给定数据拟合最好的直线方程；多项式拟合，则是在基函数 上构造 m 次多项式。二、计算题：1、利用最小二乘原理，用下列数据拟合一线性方程： x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4y 0.774597 0.894427 1.0000 1.095445 1.1832162、用一个形如 的经验公式，使与下列数据相2bxay拟合： x 19 25 31 38 44y19.032.349.073.397.83、 用一个形如 的经验公式，使与下列数据2bxa相拟合： x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4y 1.0770 1.0198 1.0000 1.0198 1.07704、用一个形如 的经验公式，使与下列数据相拟BxAey合：（书上例题、习题）第五章 数值积分内容：典型题例：一、选择题：1、有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的。A.1 B.3 C.5 D.72、已知等距节点的牛顿-科茨求积公式 ，520)()(nkkxfAdxf那么 。nkA0A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：1、牛顿-科茨求积公式 ，那么 bankkxfAdxf0)()( nkA0。2、在数值积分的计算公式中，梯形求积公式的代数精度为 ；抛物线求积公式的代数精度为 ；而的代数精度为 。)()()( 31131ffdxf3、使求积公式 具有_ 次bankkxfAdx0的代数精度，则称该求积公式是高斯求积公式。三、计算题：如：1、使用梯形公式、抛物线公式和 n=4 的牛顿-科茨公式，计算定积分： 。dx1022、使用梯形公式、抛物线公式和 n=4 的牛顿-科茨公式，计算定积分： 。dx5123、计算积分： ，要求保证有 5 位有效数eIx10字，问若用复化梯形求积公式，n 应取多少？若用复化抛物线求积公式计算，n 又应取多少？。四、证明题：1、证明：当 n 为偶数时，牛顿-科茨求积公式的代数精度可以达到 n+1。2、在区间-1，1上对 求积分，使用求积公式： )(xf )()( 211 xfAfdf （1） 求解 ， ， ， ，使它的代数精度最大；1x21A2（2） 并证明求积公式的代数精度。3、确定求积公式 的参)()()(1( 212 xfAxfdxfx数 ， ， ， ，使它的代数精度尽可能高，并证明其代1x21A2数精度。第六章 解线性方程组的直接方法内容：典型题例：一、选择题：1、用选主元的方法解线性方程组 AX=b，是为了 。A.提高计算速度 B.增加有效数字C.减少舍入误差 D.方便计算2、高斯消去法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是 。A.系数矩阵各阶顺序主子式不为零； B.系数矩阵主对角元素不为零；C.系数矩阵各阶主子式不为零；D.系数矩阵各列元素不为零。 二、填空题：1、用高斯消去法解 n 阶线性方程组总共需要的乘除法运算是_次。2、当 A 是 矩阵时，存在一个实的非奇异的下三角矩阵 L 使 A=LLT且当限定 L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的。3、用列主元素法解线性方程组 ，第 13409243131xx次消元，选择的主元为 。三、 解方程组：如1、用高斯消去法解下面的方程组： 120621943321xx2、使用全主元素法解下面的方程组： 61531823232xxxx3、用 LU 分解法解下面的方程组： 71854273321xx第十章 非线性方程及非线性方程组解法内容：典型题例：一、选择题：1、用对分区间法求方程 在区间2，3内的实0523x根，取区间中点 x0=2.5，那么下一个有根区间是 。A.2，3 B.2，2.5 C.2.5，3 D.2.5，3.52、用对分区间法求方程 f(x)=0 在区间a,b上的根，那么对分有限区间的次数 n 。A.只与函数 f(x)有关； B.只与误差限有关；C.与有根区间的长度、误差以及函数 f(x)有关；D.只与有根区间的长度以及误差限有关。3、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，将方程 f(x)=0 表示成 ，则 f(x)=0 的根是 。)(xA.y=x 与 的交点；)(xyB.y=x 与 x 轴的交点的横坐标；C. 与 x 轴的交点的横坐标；)(D. y=x 与 交点的横坐标。y4、用简单迭代法解方程 （ 称为迭代函数） ，)()(x迭代函数 在有根区间满足 ，则在)(x有根区间内任取初始值 x0，用公式所得的解序列收敛。),210)(1 nxnA. LxB. )(C. 1)(xD. 5、用牛顿法求方程 f(x)=0 的近似根，选择初始值 x0 应满足 。A. 0)(0xffB. C. )(00ffD. x二、填空题：1、牛顿法是由选取的初值 x0 处作函数 f(x)的切线，用切线与 的交点来近似代替 f(x)与 x 轴的交点。2、利用迭代法求解非线性方程的根，就初始值的选取来说，对分区间法属于 收敛方法；牛顿法属于 收敛法。三、 非线性方程求根题：如1、给定绝对误差限 =0.05，如果用对分区间法求方程 在区间0，1内的近似根，需对分区间0sin3xex多少次？并求满足条件的近似根。a=0,b=1,=0.05，则对分区间的
