7机械振动习题思考题

习题 77-1原长为 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，当物体静m5.0 kg1.0止时，弹簧长为 现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手6时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 （g 取 9.8）解：振动方程： ，在本题中， ，所以 ；cos()xAtxm9.8 。9.801k取竖直向下为 x 正向，弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 。所以： 即： 。.cos98t（ ） 0.1cos(98)xt7-2有一单摆，摆长 ，小球质量 ， 时，小球正好经过0.1l g处，并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可rad06.2rad/s&看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 （g 取 9.8）解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。cos()xAt（1）角频率： ，9.831/radsl频率： ，10.52gHz周期： ；29.8lTs（2）振动方程可表示为： ，co3.1At（ ）3.1sin.3At&（ ）根据初始条件， 时： ，0s 0(12sin34.A&、可解得： ，2008.7132m、所以得到振动方程： 。2.co.tm（ ）7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方 处，求：10.c（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方 处的速度大小。c0.8解：（1）由题知 2A=10cm，所以 A=0.05m，选弹簧原长下方 0.05m 处为平衡位置； 由 ，知 ， ，0kxmg209.8165kx1964k振动频率： ；17()2Hz（2）物体在初始位置下方 处，对应着是 x=0.03m 的位置，所以：8.cm，由 ，有： ，3cos5xA22osin14sin5而 ，那么速度的大小为： 。inv0.6/vAs7-4一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 。当 时，位移为xc220t，且向 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2） 时，质点cm6 5.的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于 ，且向 轴负cmxx方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， T又t=0 时， ， ，由旋转矢量图，可知：06xc0v3故振动方程为： ；.12os3t、（2）将 t=0.5 s 代入得：，0.1co0.c.10436x m（ ），in2os8/vt s（ ），2 2.cs.c.3a、方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于 ，6mA且向 轴负方向运动，如图示，质点从 位置回到xP平衡位置 处需要走 ，建立比例式： ，Q322tTPxAQ有： 。56ts7-5两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 处，且向左运动时，另一个质点 2 在 处，且向右运动。2/1Ax 2/Ax求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点 1 在 处，且向左运动时，/x相位为 ，3而质点 2 在 处，且向右运动，2/A相位为 。4所以它们的相位差为 。7-6. 质量为 的密度计，放在密度为 的液体中。已知密度计m圆管的直径为 。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为d简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当 时，平衡点为 C 处。设此时进入水中FG、的深度为 a： gS可知浸入水中为 a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O，以向上为 x 轴，质心的位置为 x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用 来表示，所以力a，利用牛顿定律： ，()FgxSgS2dFmt再令： ，可得： ，可见它是一个简谐振224dm02xt动；周期为： 。Tdg7-7证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为： 。mk)(2121证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有： ，将串联弹簧等12kx效于一根弹簧，仍有： ，考虑到 ，12kxkx可得： ，所以： 12k12代入频率计算式，可得： 。mk)(217-8当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由 ， ，有： ，21PEkx21kmv2cos()PEkAt，2sin()sin()kmAtt（1）当 时，由 ，2xco()xt有： ， ，1cos()t 3sin2 ， ；4PE3k（2）当 时，有：12Pk22cos()sin()tt ， 。cos()t0.7xA7-9两个同方向的简谐振动曲线( 如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相： ， 初相： ，1A12A2表明两者处于反相状态，（反相 ， ）1()k01L、 ，合成振动的振幅： ；122A合成振动的相位： ；2合成振动的方程： 。）（）（ cos1tTAx7-10两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个振cm20动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅6c30为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知 =0.01 mcos2121AAA =0.1 m ，再利用正弦定理： ，有：02sini3， 。2sin1说明 A 与 A 间夹角为 /2，即两振动的位相差为 /2 。7-11一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为 ，经过 后，振cm30A10ts幅变为 。问：由振幅为 时起，经多长时间其振幅减为 ？cm10 cm3.2A解：根据阻尼振动的特征， ，知振幅： 。0cos()txette0 ，当 时， ，可得： ，30A1ts113e上式两边取对数，得： ；ln30那么当振幅减为 时，有： ，20.3Acm210te两边取对数，有： ， 。ln1t2ln0213lg.47t s7-12某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 ，现将该弹簧振子浸入水中，0T由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的 90%，求：（1）求振子在水中的振动周期 ；（2）如果开始时振幅 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的10A路程为多少？解：（1） 有阻尼时： ，而 ，20T0T0tAe过一个周期，振幅降为原来的 90%，有： ，.9T可求得： ，代入 ，有：ln.920220l.()4T204(ln0.)1.4T（2）由题意可列出等比数列： ， ， ，0A.99AL则： 204(1.9.)nSAL0.()n 。04.cm7-13试画出 和 的李萨如图形。os(2)xtcosyBt解： ，y:1xy又 ，可参考书上的图形。4x7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：p（1） ；（2） ；4cos86xty4cos865xty（3） 。试判别质点运动的轨迹。4cos8623xty解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。对于 ， 的叠加，可推得：cos()xxAt4cos()yyt2 2inxyA（1）将 ， 代入有： ，6xy22cos16in3则方程化为： ，轨迹为一般的椭圆；21x（2）将 ， 代入有：x5y2 2ixy则方程化为： ，即 ，轨迹为一直线；200（3）将 ， 代入有：6x3y2 2cos16in则方程化为： ，轨迹为圆心在原点，半径为 4m 的圆。2247-15在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为 ，求垂直方向的振z4H107.2动频率。解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点是 2 个，在竖直方向的切点是 3 个，所以：，:3:xy那么，。y42.7104.8()Hz思考题7-1试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运02dt动就是谐振动。那么， （1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动。20dt（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统) 的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点 O；而小球在运动中的回复力为。题中所述， ，故 ，所以回复力为 。sinmgSR0Smg（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以 O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR ，令 ，则有： 。2dmRgtRg202dt7-2简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的 ?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度： ；sin()vAt加速度： ；2coa要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。7-3分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的，原因参考 7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。7-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩 ，由静止开始释放。l方法2：使其从平衡位置压缩2 ，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用 和 表示，则它们满足下面21T、21E、那个关系？（A） （B） 2121ET（C） （D） 2121答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振