1质点运动学习题思考题

1习题 11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为 (cosin)r=Rttjv其中 为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1) 由 ，知： ，(cosin)r=RttjvxsyR消去 t 可得轨道方程： 22xy质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为 R 的圆；（2）由 ，有速度：dvtsicosvttjvv而 ，有速率： 。122(n)()R1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单4(3rtitjr位为 m， 的单位为 s。求：（1）质点的轨道；（2）从 到 秒的位移；t 0（3） 和 秒两时刻的速度。0解：（1）由 ，可知 ，4(3)rtitjv2xtyt消去 t 得轨道方程为： ，质点的轨道为抛物线。x2y（2）由 ，有速度：d8tijv从 到 秒的位移为：0t11100(82)42rdtijdtijvv（3） 和 秒两时刻的速度为： ， 。t )1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ，式中 的单位为2rtijrm， 的单位为 s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（ 2）任一时刻的切向加t速度和法向加速度。解：(1)由 ，有： ， ，有： ；drvt2vtijdvataiv（2）而 ，有速率： 122() ，利用 有： tad21ttn。2nt21-4一升降机以加速度 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降a机的天花板与底板相距为 ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。d解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为 ，升1y降机上升的高度为 ，运动方程分别为2y（1）10vtg（2）22a（3）1yd（注意到 为负值，有 ）1y联立求解，有： 。2tga解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为 ，'ga利用 ，有： 。21'dgt'dt1-5一质量为 的小球在高度 处以初速度 水平抛出，求：mh0v（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的 ， ， 。drtt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：， ， ；0xvt21yhgt201()rvtihgtjv（2）联立上面两式，消去 t 得小球轨迹方程： （为抛物线方程） ；20xyh（3） ， ，201()rvtihgtjv0drvigtjt即： ，jdt xy0vhO3在落地瞬时，有： ， 2htg02drvig又 ， 。v2220()xyv12200()ghtv1-6路灯距地面的高度为 ，一身高为 的人在路灯下以匀速 沿直线行走。1hh1试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 .2v证明：设人向路灯行走，t 时刻人影中头的坐标为 ，足的坐标为 ，1x2x由相似三角形关系可得： ，121xh 12hx两边对时间求导有： ，考虑到： ，12dxdxtht21dxvt知人影中头的速度： （常数） 。212vv影1-7一质点沿直线运动，其运动方程为 (m)，在 t 从 0 秒到 324tx秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在 03s 的时间间隔内，质点速度为0 的位置：若 解得 ，tdtxv40vt1m2)2(01 8)4(33 。xx211-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角 ，问cm20ho0它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。O1 1hh4解：小球落地时速度为 ，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次ghv20落地点为坐标原点如图示， （1）006cosvx 2006cos16costtx （2）iny 0iningvy第二次落地时： ，代入（2）式得： ，vt0所以： 。2001cos6cos6480hxvtgcmg1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 ，设赤道上2s/.3重力加速度为 。2m/s80.9解：由向心力公式： ，FR向赤道上的物体仍能保持在地球必须满足： ，而现在赤道上物体的Fmg向向心力为： 'a向 098016.73.4gm1-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 ，并且 与水平面的夹角为 。试0v0分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度 ，顶点处切向加速度为 0，法cosx向加速度为 。g因此有： ，22011(cos)v；201cosvg（2）在落地点时子弹的 ，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成0v角，则： ，有： 则： 。csna20cosvg20cosvgyxg0v0vxna51-11飞机以 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 时，s/m10v m98h驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为 有：x， tvx02gth联立方程解得： ， 。mx4705.7arctnh1-12设将两物体 和 分别以初速 和 抛掷出去 与水平面的夹角为ABAvBAv； 与水平面的夹角为 ，试证明在任何时刻物体 相对物体 的速度是常Bv矢量。证明：两个物体初速度为 和 ，在任意时刻的速度为：0AB()cos(sin)AtvivgtjB v0000co(sinsi)BABAvt ivj与时间无关，故 相对物体 的速度是常矢量。1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为 ，s/m.490而气球以速度 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒s/m6.19v末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为： gtvy0故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度： ， （向上）29.8s第三秒末物体速度： 3v第四秒末物体速度： （向下） 。49.8ms1-14质点沿 轴正向运动，加速度 ， 为常数设从原点出发时速度xkva为 ，求运动方程 。0v)(t解： 由于是一维运动，所以，由题意： ，dt0vxyhO6分离变量并积分有： ，得：001vtdk tkev0又 ， 积分有：tkedtxdtxt )1(0tv1-15跳水运动员自 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速m度 ， .求运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。2kva14解：取水面为坐标原点，竖直向下为 轴。x跳水运动员入水时的速度： ，smghv1420入水后速度减为入水速度的 10%时： ，0.tv列式： ，考虑到 ，有：2dvktdtxdxvtk2，xv010 m76.510ln1-16一飞行火箭的运动学方程为： ，其中 b 是与燃)1ln()ttbutx料燃烧速率有关的量， 为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度u与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：看成一维运动，直接利用公式： ， 有：dvtvat（1） ， （2）)1ln(btudtxvbu11-17. 质点的运动方程为： ， ， ，式中cosRtsinyt2hzt为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；、hR（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为： ， ，这是一条空间螺旋线。22yxthz空间螺旋线在 平面上的投影，是圆心在原点，半径为 R 的圆，其螺距为 。Oy h7（2） ， ， ，tRdtxvsincosydvRtt2zdhvt ；2224hzyx（3） tacostaysin0za 22Ryx思考题 11-1点作曲线运动，其瞬时速度为 ，瞬时速率为 ，平均速度为 ，平均速vvv率为 ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?v（1） ；（2） ；（3） ；（4）v, , ,答：（3）1-2质点的 关系如图，图中 ， ， 三条线表示三txabc个速度不同的运动问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动； 。abcv1-3结合 图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意t义。答：平均加速度表示速度 在 时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运vt动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。 1-5如图所示，两船 和 相距 ，分别以速度ABR和 匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相AvB碰，求两船相靠最近的距离图中 和 为已知。答：方法一：如图，以 A 船为参考系，在该参考系中船 A 是静止的，而船 B 的速度 。AvB8是船 B 相对于船 A 的速度,从船 B 作v一条平行于 方向的直线 BC,它不与船 A 相交,这表明两船不会相碰.由 A 作 BC 垂线 AC,其长度 就是两minr船相靠最近的距离 sinRr作 FD/AB,构成直角三角形 DEF，故有： ，vABsinisi在三角形 BEF 中,由余弦定理可得： )co(22Av。vvrBAAB)cos(2insi2min 方法二：两船在任一时刻 的位置矢量分别为：tjir)in)cos(BA(BtsBvvR ji )sini()co- tvtABA 任一时刻两船的距离为： 22snscos( vrB令： 0)dt RvvABABAB 22)sini()coss(c。r )ni2min 1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （1） ， ；（2） ， ；（3） ，0drttv0dvtt0dattv答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。1-7一质点作斜抛运动，用 代表落地时，1t9（1）说明下面三个积分的意义： ；111000d,dtttxyvv（2）用 和 代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：AB。BAr,r答： 表示物体落地时 x 方向的距离，tvtxd10表示物体落地时 y 方向的距离，tty1表示物体在 时间内走过的几何路程，10dtv1t抛出点到落地点的位移，BAr抛出点到落地点位移的大小，d抛出点到落地点位移的大小。BAr