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成人高考数学第4部分-平面解析几何

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成人高考数学第4部分-平面解析几何

有方向又有大小的量; 标量:只有大小,没有方向的量。 长度、体积、重量、温度、时间 位移、力、速度、加速度 小写的英文字母上加箭头来表示,如 ,读作向量 a ; a 用两个大写英文字母上加箭头来表示,如 表示由 的向量,其中 B 为向量的终点,读作向量 几何图形:用有箭头的线段来表示; 向量的大小叫作向量的模,记作 或 |a 规定 模为零 的向量叫作零向量;记作 0零向量的 方向是不确定的! aA B 如果向量 和 的 模 相等 且 方向 相同 ,那么这两个向量叫作 相等的向量, 记作 ab规定:零向量都是相等的。 如果向量 和 的 模 相等 且 方向 相反 ,那么把向量 叫作 向量 的负向量, ab 记作 显然对于任意的两点 A、 B,有 如果向量 和 方向相同或相反,那么这两个向量叫作平行 向量 (共线向量 ) 记作 /0 可根据需要确定其方向,因此 可看作与任意向量平行 0两个平行向量的加法: 方向相同:模相加,方向与原来两个向量的方向相同。 方向相反:模为两个向量模之差的绝对值, 方向与模较大的向量相同。 ab c ab c两个不平行的非零向量的加法: B C c 以 ,以 为 邻边 作平行四边形 则平行四边形的对角线所表示的向量 就叫做向量 和 的 和 ,记作 a b 求向量和的运算,叫做 向量的加法 . 向量加法的平 行四边形法则: 两个不平行的非零向量的和: 以 ,则在三角形 且 向量加法的 三角形法则: B C c c A B C c c A 平行四边形法则 )()( 向量加法的运算律: 如果 , 是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 ,使 。 11 1 2 2a e e平面向量分解定理 : 我们把不平行的向量 叫做这一个平面内所有向量的一组基。 12e ,eo x y A B ),( 11 ( 22 212212 )()(| C 将向量 的起点置于坐标原点, 作 , 为 位置向量 。 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫作基本单位向量,记为 . ji, o x y ),( 11 ( 22 ,( 来表示向量 ? 将有序实数对 称为 向量 的坐标 ,记为 ,( ( , ) C 位置向量 量 向量的坐标运算 是实数, 向量 ),(),(2211 1 2 ()( 2121 ()( 2121 1 ),( 2121 ),( 2121 ),( 11 特别地,零向量: )0,0(0 向量 的负向量: a 11a x , y 且有 )0,0()( 的模: a 2211| a | x y向量的坐标运算 定义实数 与向量 的乘积是一个 向量 ,记作 a a对 的模和方向作如下规定: a(1) | (2) 当 时, 与 的方向 相同 ; 当 时, 与 的方向 相反 ; 当 时, 为 零向量 。 0 a 0规定:任意实数 与零向量的乘积为零向量。 00 实数与向量乘积的运算律: )()1( )()2()()3( 任给平面内的两个非零向量 , 作 ,O A a O B bO B A A, 叫做 向量 与向量 的夹角。 b 的取值范围 00 向量 和向量 方向相同 a b 向量 和向量 方向相反 a 向量 和向量 垂直 ,记 a b 向量的夹角: 平行 向量的数量积 如果两个非零向量 的夹角为 )( 0那么我们把 叫作 向量 与向量 的数量积(或 内积 ) c o s| ba a c o s| 符号为 不能写为 数量积的运算性质: 0|1 2 2 a b b a ()3 ( ) ( ) ( )a b a b a b ()4 ( )a b c a b a c ()当且仅当 时, 0 0a向量的数量积: ,作 | | | c o 一般地,两个非零向量 、 的夹角为 , 那么我们把 叫做 向量 与向量 的数量积 , b( 0 ) | | | | c o s .a b a b 即 0 0 0 规定: 把 叫做向量 在向量 的方向上的投影。 | | 量积 的几何意义是: | a 两个向量 、 的数量积是其中的一个向量 的模与 另一个向量 在向量 的方向上的投影 的乘积。 ac | | |根据向量的数量积的定义,数量积的运算满足下列性质: 2 2( 1 ) | | ;a a a a ( 2 ) ;a b b a ( 3) ( ) ( ) ( ) ; ( )a b a b a b R ( 4 ) ( ) .a b c a b a c 0 0 ;a a a 222( 5 ) ( ) 2a b a a b b 22| | 2 | | | | c o s | | .a a b b ( 6 ) ( ) ( )a b c a b c ?0,a b a b / / | | | | .a b a b a b 对于两个非零向量 与 有: 其数量积为 c o s| ),(),( 2211 1 22b x i y j)()( 2211 2211221221 )( 2121 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和 直线的倾角 沿 轴的正向按照逆时针方向旋转到 的向上的方向 所成的转角 叫做直线 的倾角 . x l 的正方向 的向上的方向 80直线的斜率 当 时, 叫做直线 的斜率,通常用 来表示 2 l ,t a n= 时,直线 的斜率 不存在 2= 2 0k k 不存在 数形结合 分析讨论 k 0 k 00 2 2 练习 1:判断 1、直线的倾角为 ,则直线的斜率为 ( ) 为所有的直线都有倾角,故所有的直线都有 斜率( ) 3、因为平行于 轴的直线的斜率不存在,所以 平行于 轴的直线的倾角也不存在。( ) × × 331390,0( °°°90 °180( 2) = k,4_ 练习 2:填空 1、已知直线的倾角 ,写出直线的斜率 k( 1) = ° k,30 _ ( 3) = k,32_ ( 4) = k,65_ 2、直线的斜率 ,倾角 0=k 0 3、当 _ 时, 时 , 满足的条件是 _ 0 例 1:已知直线 的倾角 ,直线 1l °=4521 1 直线 的斜率 . 例应用 2 的斜率为 解:直线 的斜率 1a nt a = ° 的倾角 °°° =+= 13 5459012= °°°° 45t a n)45180t a n (135t a ,( 21倾角为的一个方向向量设直线 的方向为直线 的向上的方向 v 212t a 2ta 返回 当 的方向为直线 l 的

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