8.4位移法的基本结构及位移法方程

All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,8.4位移法的基本结构及位移法方程,一、位移法的基本结构,位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。,所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ”表示。,所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,a)原结构及其基本未知量,b)基本结构,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,二、位移法的基本体系,图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。,a)原结构,c)基本体系,b)基本结构,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,三、位移法方程,基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1必定为零（图c）。,c)基本体系,e)放松结点,d)锁住结点,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩，则有 F11=k11Z1，代入上式，得,这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平衡条件 。,为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和Z1=1引起的弯矩图（ 图）。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,在图 中取结点A为隔离体，由 ，得,在MP图中取结点A为隔离体，由 ，得,刚臂内之反力矩以顺时针为正,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,将k11和F1P的值代入上式，解得,结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,MP图,图,M图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构（图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。,位移法方程,基本结构,基本体系,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,a)MP图(kN·m),b) 图,c)M图(kN·m),分别在MP图和 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得,结构的最后弯矩图可由叠加公式 计算后绘制，如图c所示。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院®,四、典型方程法和直接平衡法,关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。,一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi =0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为典型方程法。,另一种途径，则是将待分析结构先“拆散”为许多杆件单元，进行单元分析根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再“组装”，进行整体分析直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平衡法。,