8雅可比矩阵1

机器人学基础,雅可比矩阵,上海电机学院 机械学院,运动学方程只限于静态位置问题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度和加速度等动态过程。,动力学主要研究运动和力的关系。,雅可比矩阵,一、引入,上海电机学院 机械学院,1.X=X(q)的运动方程式,可否用3个参数简便描述手部姿态？,角度设定法,“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规定姿态的方法，。,手部位姿可用一个6维列矢量来表示,x、 y、 z表示绕x、y、z轴的转角。,上海电机学院 机械学院,设q为广义关节变量,则,故用角度设定法表示手部姿态时机器人的运动学方程可写成,表示了手部位姿X与关节变量q之间的关系。,上海电机学院 机械学院,2.关节空间与操作空间,关节空间：n个自由度的操作臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维矢量，记为q，所有的关节矢量q构成的空间称为关节空间。,操作空间：末端手爪位姿x是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作业定向空间来表示。,运动学方程x=x(q)可以看成是由关节空间向操作空间的映射；而运动学反解则是由其映像求其关节空间的原像。,上海电机学院 机械学院,二、机器人的雅可比矩阵,图示为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，,端点位置X、Y与关节1、2的关系为,上海电机学院 机械学院,将其微分得,dX=Jd,J称为二自由度平面关节型机器人的速度雅可比矩阵。,速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小运动d与手部空间（操作空间）微小位移dX的关系。,上海电机学院 机械学院,对该二自由度机器人运动方程进行计算，则其雅可比可写为,从J中元素组成可见，J矩阵的值是1和2的函数。,上海电机学院 机械学院,推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示q= q1, q2, , qn T当关节为转动关节时qi=i；当关节为移动关节时qi=di，dq= dq1，dq2,  , dqnT，反映了关节空间的微小运动。,机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。,dX=dX,dY,dZ,X,Y,Z T反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成.,dX=J(q)dq,重点,J(q)称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。,上海电机学院 机械学院,(1)每一列表示其他关节不动而某一关节运动的端点速度；,雅可比矩阵的含义：,(2)前三行代表手部线速度与关节速度传递比；后三行代表手部角速度与关节速度传递比。,上海电机学院 机械学院,雅可比矩阵研究操作空间速度与关节空间速度线性映射关系，同时也用来表示空间之间力的传递关系 。,数学上，雅可比矩阵是一个多元函数的偏导矩阵。机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比。,雅可比矩阵的第i行第j列元素为,上海电机学院 机械学院,(1)工业机器人的速度分析 dX=J(q)dq 两边同除以dt得,或写为,式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。,上海电机学院 机械学院,对该二自由度机器人来说，J(q)是一个2*2的矩阵。,可写成,上海电机学院 机械学院,例 如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时1=30°，2=60°，求相应瞬时的关节速度。,上海电机学院 机械学院,上海电机学院 机械学院,上述计算中，当2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度将趋于无穷大。从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。,上海电机学院 机械学院,机器人的奇异形位分为两类：(1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时引起的奇异。当出现奇异形位时，会产生退化现象。,当机构处于奇异位形时其Jacobian矩阵为奇异阵，行列式值为零，此时机构速度反解不存在，存在某些不可控的自由度。另外当机构处于奇异位形附近时，关节驱动力将趋于无穷大从而造成机器人的损坏，因此在设计和应用机器人时应避开奇异位形。,上海电机学院 机械学院,机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。,（2）力雅可比与静力计算,机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n，统称为末端广义力矢量。记为,在静止状态下，广义操作力F应与各关节的驱动力相平衡。,n个关节的驱动力组成的n维矢量,上海电机学院 机械学院,虚功原理：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,各关节所做虚功之和为：,末端执行器所做虚功为：,两者所做虚功应相等，总的虚功为零：即，,上海电机学院 机械学院,假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：,=JTF,式中：JT为n*6阶机器人力雅可比矩阵，并且是机器人速度雅可比J的转置矩阵。,它表示静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。,思考与速度雅可比有什么不同,上海电机学院 机械学院,机器人静力计算的两类问题 (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩。(2) 已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。,第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 F =(JT)1,上海电机学院 机械学院,关节空间和操作空间的速度映射和静力映射的线性关系。n为关节数，m表示操作空间维数。,J(q)为m*n维矩阵,上海电机学院 机械学院,上海电机学院 机械学院,