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7机械振动习题思考题

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  • 卖家[上传人]:壹****1
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  • 上传时间:2018-01-24
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    • 1、习题 77-1原长为 的弹簧,上端固定,下端挂一质量为 的物体,当物体静m5.0 kg1.0止时,弹簧长为 现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以放手6时开始计时,取竖直向下为正向,写出振动式。 (g 取 9.8)解:振动方程: ,在本题中, ,所以 ;cos()xAtxm9.8 。9.801k取竖直向下为 x 正向,弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置,所以如果使弹簧的初状态为原长,那么:A=0.1m, 当 t=0 时,x=-A,那么就可以知道物体的初相位为 。所以: 即: 。.cos98t( ) 0.1cos(98)xt7-2有一单摆,摆长 ,小球质量 , 时,小球正好经过0.1l g处,并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可rad06.2rad/s&看作简谐振动,试求:(1)角频率、频率、周期;(2)用余弦函数形式写出小球的振动式。 (g 取 9.8)解:振动方程: 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。cos()xAt(1)角频率: ,9.831/radsl频率: ,10.52gHz周期: ;29.8lTs(2)振动方程可表示为: ,co3.1At( )3.1si

      2、n.3At&( )根据初始条件, 时: ,0s 0(12sin34.A&、可解得: ,2008.7132m、所以得到振动方程: 。2.co.tm( )7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体,最初用手将物体在处托住,然后放手,此系统便上下振动起来,已知物体最低位置是初始位置下方 处,求:10.c(1)振动频率;(2)物体在初始位置下方 处的速度大小。c0.8解:(1)由题知 2A=10cm,所以 A=0.05m,选弹簧原长下方 0.05m 处为平衡位置; 由 ,知 , ,0kxmg209.8165kx1964k振动频率: ;17()2Hz(2)物体在初始位置下方 处,对应着是 x=0.03m 的位置,所以:8.cm,由 ,有: ,3cos5xA22osin14sin5而 ,那么速度的大小为: 。inv0.6/vAs7-4一质点沿 轴作简谐振动,振幅为 ,周期为 。当 时,位移为xc220t,且向 轴正方向运动。求:(1)振动表达式;(2) 时,质点cm6 5.的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于 ,且向 轴负cmxx方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解:(1)由题

      3、已知 A=0.12m,T=2 s , T又t=0 时, , ,由旋转矢量图,可知:06xc0v3故振动方程为: ;.12os3t、(2)将 t=0.5 s 代入得:,0.1co0.c.10436x m( ),in2os8/vt s( ),2 2.cs.c.3a、方向指向坐标原点,即沿 x 轴负向;(3)由题知,某时刻质点位于 ,6mA且向 轴负方向运动,如图示,质点从 位置回到xP平衡位置 处需要走 ,建立比例式: ,Q322tTPxAQ有: 。56ts7-5两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等。当质点 1 在 处,且向左运动时,另一个质点 2 在 处,且向右运动。2/1Ax 2/Ax求这两个质点的位相差。解:由旋转矢量图可知:当质点 1 在 处,且向左运动时,/x相位为 ,3而质点 2 在 处,且向右运动,2/A相位为 。4所以它们的相位差为 。7-6. 质量为 的密度计,放在密度为 的液体中。已知密度计m圆管的直径为 。试证明,密度计推动后,在竖直方向的振动为d简谐振动。并计算周期。解:平衡位置:当 时,平衡点为 C 处。设此时进入水中FG、的深度为 a: gS可知浸入水中为

      4、 a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O,以向上为 x 轴,质心的位置为 x,分析受力:不管它处在什么位置,其浸没水中的部分都可以用 来表示,所以力a,利用牛顿定律: ,()FgxSgS2dFmt再令: ,可得: ,可见它是一个简谐振224dm02xt动;周期为: 。Tdg7-7证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为: 。mk)(2121证明:两根弹簧的串联,由相互作用力相等,有: ,将串联弹簧等12kx效于一根弹簧,仍有: ,考虑到 ,12kxkx可得: ,所以: 12k12代入频率计算式,可得: 。mk)(217-8当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?解:由 , ,有: ,21PEkx21kmv2cos()PEkAt,2sin()sin()kmAtt(1)当 时,由 ,2xco()xt有: , ,1cos()t 3sin2 , ;4PE3k(2)当 时,有:12Pk22cos()sin()tt , 。cos()t0.7xA7-9两个同方向的简谐振动曲线( 如图所示) (1)求合振动的振幅。(2)求合振动的振

      5、动表达式。解:通过旋转矢量图做最为简单。由图可知,两个振动同频率,且初相: , 初相: ,1A12A2表明两者处于反相状态,(反相 , )1()k01L、 ,合成振动的振幅: ;122A合成振动的相位: ;2合成振动的方程: 。)()( cos1tTAx7-10两个同方向,同频率的简谐振动,其合振动的振幅为 ,与第一个振cm20动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则(1)第二个振动的振幅6c30为多少?(2)两简谐振动的位相差为多少?解:如图,可利用余弦定理:由图知 =0.01 mcos2121AAA =0.1 m ,再利用正弦定理: ,有:02sini3, 。2sin1说明 A 与 A 间夹角为 /2,即两振动的位相差为 /2 。7-11一摆在空中作阻尼振动,某时刻振幅为 ,经过 后,振cm30A10ts幅变为 。问:由振幅为 时起,经多长时间其振幅减为 ?cm10 cm3.2A解:根据阻尼振动的特征, ,知振幅: 。0cos()txette0 ,当 时, ,可得: ,30A1ts113e上式两边取对数,得: ;ln30那么当振幅减为 时,有: ,20.3Acm210te两边取对

      6、数,有: , 。ln1t2ln0213lg.47t s7-12某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 ,现将该弹簧振子浸入水中,0T由于水的阻尼作用,经过每个周期振幅降为原来的 90%,求:(1)求振子在水中的振动周期 ;(2)如果开始时振幅 厘米,阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的10A路程为多少?解:(1) 有阻尼时: ,而 ,20T0T0tAe过一个周期,振幅降为原来的 90%,有: ,.9T可求得: ,代入 ,有:ln.920220l.()4T204(ln0.)1.4T(2)由题意可列出等比数列: , , ,0A.99AL则: 204(1.9.)nSAL0.()n 。04.cm7-13试画出 和 的李萨如图形。os(2)xtcosyBt解: ,y:1xy又 ,可参考书上的图形。4x7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:p(1) ;(2) ;4cos86xty4cos865xty(3) 。试判别质点运动的轨迹。4cos8623xty解:质点参与的运动是频率相同,振幅相同的垂直运动的叠加。对于 , 的叠加,可推得:cos()xxAt4cos()yyt2 2inxyA(1)

      7、将 , 代入有: ,6xy22cos16in3则方程化为: ,轨迹为一般的椭圆;21x(2)将 , 代入有:x5y2 2ixy则方程化为: ,即 ,轨迹为一直线;200(3)将 , 代入有:6x3y2 2cos16in则方程化为: ,轨迹为圆心在原点,半径为 4m 的圆。2247-15在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压,荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为 ,求垂直方向的振z4H107.2动频率。解:从图中可见,李萨如图形在水平方向的切点是 2 个,在竖直方向的切点是 3 个,所以:,:3:xy那么,。y42.7104.8()Hz思考题7-1试说明下列运动是不是简谐振动:(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动;(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件: 描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量; 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动; 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说,若一个系统的运动微分方程能用 描述时,其所作的运02dt动就是谐振动。那么, (

      8、1)拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置;第二、球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一、描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量;二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说,若一个系统的运动微分方程能用 描述时,其所作的运动就是谐振动。20dt(2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动。显然,小球在运动过程中,各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统) 的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点 O;而小球在运动中的回复力为。题中所述, ,故 ,所以回复力为 。sinmgSR0Smg(式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反)即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象,则小球在以 O为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律,在凹槽切线方向上有mR ,令 ,则有: 。2dmRgtRg202dt7-2简谐振动的速度和加速

      9、度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的 ?加速度为正值时,振动质点的速率是否一定在增加?反之,加速度为负值时,速率是否一定在减小?答: 简谐振动的速度: ;sin()vAt加速度: ;2coa要使它们同号,必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时,振动质点的速率不一定在增加,反之,加速度为负值时,速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时,加速度才能使速率增加;反之,两者异号时,加速度使速率减小。7-3分析下列表述是否正确,为什么?(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力,则物体必然作振动,但不一定是简谐振动;(2)简谐振动过程是能量守恒的过程,凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答:(1)的表述是正确的,原因参考 7-1;(2)的表述不正确,比如自由落体运动中能量守恒,但不是简谐振动。7-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1:使其从平衡位置压缩 ,由静止开始释放。l方法2:使其从平衡位置压缩2 ,由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用 和 表示,则它们满足下面21T、21E、那个关系?(A) (B) 2121ET(C) (D) 2121答:根据题意,这两次弹簧振子的周期相同,振

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