1质点运动学习题思考题
9页1、1习题 11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为 (cosin)r=Rttjv其中 为常量求:(1)质点的轨道;(2)速度和速率。解:(1) 由 ,知: ,(cosin)r=RttjvxsyR消去 t 可得轨道方程: 22xy质点的轨道为圆心在(0,0)处,半径为 R 的圆;(2)由 ,有速度:dvtsicosvttjvv而 ,有速率: 。122(n)()R1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ,式中 的单4(3rtitjr位为 m, 的单位为 s。求:(1)质点的轨道;(2)从 到 秒的位移;t 0(3) 和 秒两时刻的速度。0解:(1)由 ,可知 ,4(3)rtitjv2xtyt消去 t 得轨道方程为: ,质点的轨道为抛物线。x2y(2)由 ,有速度:d8tijv从 到 秒的位移为:0t11100(82)42rdtijdtijvv(3) 和 秒两时刻的速度为: , 。t )1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为 ,式中 的单位为2rtijrm, 的单位为 s.求:(1)任一时刻的速度和加速度;( 2)任一时刻的切向加t速度和法向加速度。解:(1)由 ,有: , ,有: ;d
2、rvt2vtijdvataiv(2)而 ,有速率: 122() ,利用 有: tad21ttn。2nt21-4一升降机以加速度 上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降a机的天花板与底板相距为 ,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。d解法一:以地面为参照系,坐标如图,设同一时间内螺钉下落的距离为 ,升1y降机上升的高度为 ,运动方程分别为2y(1)10vtg(2)22a(3)1yd(注意到 为负值,有 )1y联立求解,有: 。2tga解法二:以升降机为非惯性参照系,则重力加速度修正为 ,ga利用 ,有: 。21dgtdt1-5一质量为 的小球在高度 处以初速度 水平抛出,求:mh0v(1)小球的运动方程;(2)小球在落地之前的轨迹方程;(3)落地前瞬时小球的 , , 。drtt解:(1)如图,可建立平抛运动学方程:, , ;0xvt21yhgt201()rvtihgtjv(2)联立上面两式,消去 t 得小球轨迹方程: (为抛物线方程) ;20xyh(3) , ,201()rvtihgtjv0drvigtjt即: ,jdt xy0vhO3在落地瞬时,有: , 2htg02drvig
3、又 , 。v2220()xyv12200()ghtv1-6路灯距地面的高度为 ,一身高为 的人在路灯下以匀速 沿直线行走。1hh1试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度 .2v证明:设人向路灯行走,t 时刻人影中头的坐标为 ,足的坐标为 ,1x2x由相似三角形关系可得: ,121xh 12hx两边对时间求导有: ,考虑到: ,12dxdxtht21dxvt知人影中头的速度: (常数) 。212vv影1-7一质点沿直线运动,其运动方程为 (m),在 t 从 0 秒到 324tx秒的时间间隔内,则质点走过的路程为多少?解:由于是求质点通过的路程,所以可考虑在 03s 的时间间隔内,质点速度为0 的位置:若 解得 ,tdtxv40vt1m2)2(01 8)4(33 。xx211-8一弹性球直落在一斜面上,下落高度,斜面对水平的倾角 ,问cm20ho0它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人射角等于反射角)。O1 1hh4解:小球落地时速度为 ,建立沿斜面的直角坐标系,以小球第一次ghv20落地点为坐标原点如图示, (1)006cosvx 2006co
4、s16costtx (2)iny 0iningvy第二次落地时: ,代入(2)式得: ,vt0所以: 。2001cos6cos6480hxvtgcmg1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时,赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 ,设赤道上2s/.3重力加速度为 。2m/s80.9解:由向心力公式: ,FR向赤道上的物体仍能保持在地球必须满足: ,而现在赤道上物体的Fmg向向心力为: a向 098016.73.4gm1-10已知子弹的轨迹为抛物线,初速为 ,并且 与水平面的夹角为 。试0v0分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解:(1)抛物线顶点处子弹的速度 ,顶点处切向加速度为 0,法cosx向加速度为 。g因此有: ,22011(cos)v;201cosvg(2)在落地点时子弹的 ,由抛物线对称性,知法向加速度方向与竖直方向成0v角,则: ,有: 则: 。csna20cosvg20cosvgyxg0v0vxna51-11飞机以 的速度沿水平直线飞行,在离地面高 时,s/m10v m98h驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上,问:投放物品时
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