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7-7 课后·演练·提升

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1、高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力图 77101如图 7710 所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2， AA11，求 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角的正弦值2(2011扬州模拟 )在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，求平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值3设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，求点 D1 到平面 A1BD 的距离图 77114(2010淄博模拟 )如图 7711 所示，在五面体 ABCDEF 中，FA平面ABCD， AD BCFE ，ABAD，M 为 EC 的中点，AFABBC FE AD.12(1)求证：BFDM；(2)求二面角 ACDE 的余弦值高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力图 77125(2010台山模拟 )如图 7712，四面体 ABCD 中，O、E 分别是BD、BC 的中点，CACBCDBD2，ABAD .2(1)求证：AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；(3

2、)求点 E 到平面 ACD 的距离图 77136如图 7713 所示，三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面ABC， BCAC，BCAC2，AA 13，D 为 AC 的中点(1)求证：AB 1平面 BDC1；(2)求二面角 C1BDC 的余弦值；(3)在侧棱 AA1 上是否存在点 P，使得 CP平面 BDC1？并证明你的结论高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力答案及解析1 【解】以 D 点为坐标原点，以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 (图略)，则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1) (2,0,1)， ( 2,2,0)，且为平面 BB1D1D 的一个法向量BC1 AC AC cos ， .BC1 AC BC1 AC |BC1 |AC | 458 105BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 .1052 【解】以 A 为原点建系，设棱长为 1.则 A1(0,0,1)，E(1,0， )，D(0,1,0)，12 (0,1 ，1)，A1D (1,0， )，

3、A1E 12设平面 A1ED 的法向量为 n1(1，y，z)，平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，cosn1，n2 .231 23高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力即所成的锐二面角的余弦值为 .233 【解】如图建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)， (2,0,0) ， (2,0,2)，D1A1 DA1 (2,2,0)，DB 设平面 A1BD 的法向量 n(x，y，z)，点 D1 到平面 A1BD 的距离d .|D1A1 n|n| 23 2334 【解】以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB1，依题意得 A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,2,0)、E(0,1,1)、F(0,0,1)、M( ，1， )12 12(1)证明 (1,0,1) ， ( ， 1， )，BF DM 12 12cos ， BF DM BF DM |BF |DM | 12 0 122620.BF DM.(2)设平面 CDE 的法向量为 u(x，y，z)，

4、则Error!又 ( 1,0,1) ， (0，1,1)，CE DE 令 x1，可得 u(1,1,1)高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 v(0,0,1) ，cosu，v .uv|u|v| 0 0 131 33故二面角 ACDE 的余弦值为 .335 【解】(1)证明连结 OC.BODO， ABAD，AOBD.BODO， BCCD，COBD.在AOC 中，由已知可得 AO1，CO .3而 AC2， AO2CO 2AC 2.AOC90 ，即 AOOC.又 AOBD，BDOCO， AO平面 BCD.(2)以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,0,0) ，C(0，，0)，A(0,0,1)，E( ，，0)，312 32(1,0,1)， (1，，0)BA CD 3cos ， .BA CD BA CD |BA |CD | 24异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .24(3)设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)，令 y1，得 n( ，1， )是平面 ACD 的一个法向量3

5、3又 ( ，，0)，EC 12 32高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力点 E 到平面 ACD 的距离 d .|EC n|n| 37 2176 【解】(1)证明连结 B1C，与 BC1 相交于 O，连结 OD，如图，四边形 BCC1B1 是矩形，O 是 B1C 的中点又 D 是 AC 的中点， ODAB1.AB1平面 BDC1，OD平面 BDC1，AB1平面 BDC1.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则 C1(0,0,0)，B(0,3,2)，C(0,3,0)，A(2,3,0)，D(1,3,0)， (0,3,2)， (1,3,0)C1B C1D 设 n(x 1，y1，z1)是平面 BDC1 的一个法向量，易知 (0,3,0)是平面 ABC 的一个法向量C1C cosn， .C1C nC1C |n|C1C | 1763 27由图可知二面角 C1BDC 为锐角，二面角 C1BDC 的余弦值为 .27(3)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2，y,0)(0y3)，使得 CP平面 BDC1.方程组无解，假设不成立高考新课标大一轮总复习配苏教版数学(理) 课堂新坐标让您感受品质的魅力侧棱 AA1 上不存在点 P，使得 CP平面 BDC1.

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