10-11-1复变函数答案
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1、浙江科技学院考试试卷第 1 页 共 4 页浙江科技学院2010-2011 年第 1 学期考试试卷 A 卷 考试科目 复变函数与积分变换 考试方式 闭 完成时限 2 小时拟题人 工程数学课程组 审核人 批准人 2011 年 1 月 14 日学院 年级 专业标准答案及评分标准一.填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. ;2iyxyxz12121或者： 。211212cossinr2. 。 101 nkinkrzn ,L3. 对数函数 Lnz 的主值 在复平面上除去 z=0 和负半实轴的单lziargz连通区域： 内解析。0argz，4. 。K=0,1,2, 4(ln2)4(1) (8)2ln()iikiiLn kiee5. 。231l ),|1nzz二.判断题（每小题 3 分，共 15 分）错；错；对；错；对。三.解答题(11 小题 8 分，12-14 小题各 9 分，共 35 分)11.当 分别等于多少时,函数 在复平面上abc分 323()fzxbyiaxcy处处解析? 解： （1 分）3223,uxyvaxcy浙江科技学院考试试卷第 2 页 共 4 页2 223,2,336uuv
2、vxbybxyaxyxcyac分（8 分）,1a12. 利用拉普拉斯变换求微分方程 满足边界条件 的解。2y1)0(,)0(yy解：利用微分性质，设方程的解 且设 (1 分),tsYtL对方程的两边取拉普拉斯变换，并考虑到边界条件，则得（4 分）2 11sysys整理得： （6 分）两边取拉氏逆变换得 （9 分）1tyte13. 将函数 在圆环域： 内展开为洛朗级数。()(2)fzz01z.解：在 内，有01z011()2()1nnnf zzz（9 分）14. 在 内， 收敛，其和函数 （4分）21z1nz zzzSn110)(所以。 （9分） 21212121 zzzzn iddd 浙江科技学院考试试卷第 3 页 共 4 页四.计算（共 30 分）15. ；4(34)ln5arct(21)3Liik16. 22223 3osi)i eeeii17. 积分区域内只有一个不解析点 1，应用高阶导数的柯西积分公式z= 。2321zzde)( iezeidz 941223 )(18. 求积分 ，其中 C 为正向圆周： .4()Czr解 为一个奇点，函数 在 上解析 (2 分)01z则(7 分)4411220()3!CCizd izz 19. 计算积分 的值。229xI解： 函数 满足定理条件，因此积分是存在的。由224zRz于 在上半平面 内只有一级极点 和 ， （2 分）)(zIm03i而（4 分）223 1Re,li 4909z zisi同理 （6 分）1,20si所以（7 分）2Re,3e,20IizisRzi五. 应用题（5 分）浙江科技学院考试试卷第 4 页 共 4 页20 设弹簧系数为 的弹簧上端固定，又质量为 的物体挂在弹簧的下端(如图所km示)若物体自静止 时，位置 处开始运动，初速度为零。当其为无阻尼0t0x自由振动时。求该物体的运动规律 ()yt解：无阻尼自由振动时。物体运动的微分方程为 ，0myk)(t且 (),)x现对方程两边取拉普拉斯变换，设 ，Ly()Ys并考虑到初始条件，则得 20()()msYxskY（4 分）022m如记 ，有 k002()xsY取它们的逆变换，得。 （5 分）0cosxtt
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