1.1常微分方程数值解
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1、第 5 章 常微分方程数值解针对 0(,)yfx若 满足 Lipschitz 条件：()yx(,)(,)fyfxLy则上述初值问题的解 存在并且唯一。 The O.D.E with an initial conditon has an unique solution. 解存在但并非用解析方法可以求解如 xye欧拉方法:Euler Scheme, eulers Method对于 （1）我们在 处离散方程: discrete equation.ODE0x00(,)xyfy注意到 0 0()(limx yx将 x 的定义域 n 等分，得到节点,abMake n-equal partition for the domain , we get nodes:ab012nxxK其中步长 在（3）中令 则有bahxh000()(,()yfxy故有 100()(,)xhf由于 故 可算出。0xyy1(x同理 对任一满足 ，有n1()(,()nyxhfxy用 表示 ，即有欧拉格式)n1(,)nnyhfxy利用（4）式即可算出所有的 的近似值 approximate value ()nyx:piecewis
2、e linear012nybLB例 1， 求解初值问题 2 01(0)xyx解 ，故欧拉格式为,fxySolution:12()nnxyhy计算结果见下表 表 5.1nxny()nyxnxny()nx0.1 1.1000 1.0954 0.6 1.5090 1.48320. 2 1.1918 1.1832 0.7 1.5803 1.54920.3 1.2774 1.2649 0.8 1.6498 1.61250.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.67330.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321真解: 12yxGeometrical 几何表示：由于 ，故欧拉格式可写成(,)(nnnfxyxtg1nnyhtg图 5.2局部截断误差 Local truncation error12()()()()()()2nnnnnnyxhyxyxhyx故21()()()nnnhyx称为局部截断误差，称为 1 阶精度格式。2()hRy2.后退的欧拉公式 Backward Euler formula取 则x1110()()()limnnnxyxyyh故离散
3、格式为 11(,)nnyfxy亦称为隐式格式。Implicit scheme; 显式:explicit当 时，0101(,)yhfxy需求解方程解出 ，可用迭代法(1) ()01,kkyfxy误差估计 112111111()()()()()2nnnnnnxhhyxyx局部截断误差：211()hRy3.梯形格式 trapezia scheme注意到显格式与隐格式的误差的符号一正一负，将其平均 11(,)nnyhfxy两格式相加 1 1(,)(,)2nnnyfxyfy 误差精度为 2 阶， 20h4.改进的欧拉公式 modified :预估校正格式Predictor-corrector 梯形格式精度高，但是隐格式可采用近似的值代替梯形格式中的 ，得到新的格式1ny11 1(,)2nnn nyhfxy 可表示或平均化形式11(,)()2pnncpnpcyhfxy5.欧拉两步格式 multistep methods: 2 step method注意到 0()()()limnnnxyyxy令 )()()2nnnh则得到离散格式 1(,)nnyfxy称为二步格式。两步格式具有 2 阶精度，可以应用到预测校正算法中11(,)(,)nnnyhfxyfy 问题 1，证明梯形格式为 2 阶精度2，证明两步格式为 2 阶精度 prove 2 step scheme has 2rd order accuracy.
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