2014《成才之路》高一数学(人教a版)必修2能力强化提升：4-2-3 直线与圆的方程的应用

1、一、选择题1一辆卡车宽 1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A1.4m B3.5mC 3.6m D2.0m答案 B解析 圆 半径 OA3.6，卡 车宽 1.6，AB 0.8，弦心距 OB 3.5.3.62 0.822与圆 x2y 2ax 2y10 关于直线 xy10 对称的圆的方程是 x2 y24x30，则 a()A0 B1C 2 D3答案 C解析 x 2 y24x 30 化为标准形式为(x 2) 2y 21， 圆心为(2,0) ，(2,0)关于直线 xy 10 对称的点为(1,1) ，x2y 2ax2y10 的圆心为(1,1)x2y 2ax2y10，即为(x )2(y 1)2 ，圆心为( ，1)，a2 a24 a2 1，即 a2.a23直线 2xy0 与圆 C：(x 2) 2(y1) 29 交于 A、B 两点，则ABC (C 为圆心) 的面积等于()A2 B25 3C 4 D43 5答案 A解析 圆心到直线的距离 d ，|4 1|5 5|AB|2 4， SABC 4 2 .9 d212 5 54点 P 是直线 2xy 100

2、 上的动点，直线 PA、PB 分别与圆x2y 24 相切于 A、B 两点，则四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A24 B16C 8 D4答案 C解析 四边形 PAOB 的面积 S2 |PA|OA|2122 ，当直线 OP 垂直直 线 2xy100 时，OP2 OA2 OP2 4其面积 S 最小5若直线 axby1 与圆 x2y 21 相交，则点 P(a，b)的位置是( )A在圆上 B在圆外C在圆内 D以上都不对答案 B解析 由 1.|0 0 1|a2 b26(2008 年山东高考题)已知圆的方程为 x2 y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )A10 B206 6C 30 D406 6答案 B解析 圆 心坐标是(3,4)， 半径是 5，圆心到点(3,5)的距离为 1，根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径) AC 垂直，故最短弦的长为 2 4 ，所以四 边形 ABCD 的面 积为52 12 6ACBD 104 20 .12 12 6 67方程 kx2 有唯一解，则实数 k 的范围是()1

3、x2Ak 3B k (2,2)C k2Dk 2 或 k3答案 D解析 由 题意知，直线 ykx2 与半圆 x2y 21(y0 只有一个交点结 合图形易得 k2 或 k .38(拔高题)台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险地区，城市 B 在 A 的正东40 km 外，B 城市处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 hC 1.5 h D2 h答案 B解析 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为 20 千米，故处于危险区内的时间为 1(h)2020二、填空题9已知实数 x，y 满足 x2y 24x10.则 xy 的最大值和最小值分别是_和_的最大值和最小值分别是_和_yxx2y 2 的最大值和最小值分别是 _和_ 答案 2 ，2 ；1，1；74 ，746 6 3 3解析 (1)设 xyb 则 yxb 与圆 x2 y24x10 有公共点，即 ，2 b2|2 b|12 12 3 6 6故 xy 最大值为 2 ，最小值为 26 6(2)设 k， 则 ykx 与 x2y 24x 10yx有公共点，即 |2k|1 k2 3 k ，故 最

4、大值为 ，最小值为3 3yx 3 3(3)圆心 (2,0)到原点距离 为 2，半径 r 3故(2 )2 x2y 2(2 )23 3由此 x2y 2最大值为 74 ，最小值为 74 .3 310如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽 12 m，当水面下降 1 m 后，水面宽为 _m.答案 2 51解析 如下 图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为 y 轴 ，建立直角坐 标系，设圆心为 C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得 A(6，2)，B(6，2)设圆的半径为 r，则 C(0， r)，即 圆的方程为 x2( yr) 2r 2.将点 A 的坐标(6 ，2)代入方程，解得 r10.圆的方程为 x2(y 10)2100. 当水面下降 1 m 后，可设点 A的坐标为(x 0，3)( x00)，将 A的坐标( x0， 3)代入方程 ，求得 x0 .所以，水面下降 1 m 后，水51面宽为 2x0 2 .5111已知直线 x2y30 与圆( x2) 2(y3) 29 相交于E，F 两点，圆心为点 C，则CEF 的面积等于_答案 2 5解析 圆心 C(2，3

5、)到直线的距离为 d ，|2 6 3|1 22 5又 R 3，|EF|2 4.R2 d2SCEF |EF|d2 .12 512若点 P 在直线 l1：xy30 上，过点 P 的直线 l2 与曲线C： (x5) 2y 216 相切于点 M，则|PM| 的最小值 _答案 4解析 曲 线 C：(x5) 2y 216 是圆心为 C(5,0)，半径为 4 的圆，连接 CP，CM，则在MPC 中，CM PM，则| PM| |CP|2 |CM|2，当 |PM|取最小 值时，|CP| 取最小 值，又点 P 在直线 l1上，|CP|2 16则|CP |的最小 值是点 C 到直线 l1的距离，即| CP|的最小值为d 4 ，则|PM| 的最小值为 4.|5 3|1 1 2 422 16三、解答题13如图所示，已知直线 l 的解析式是 y x4，并且与 x 轴、43y 轴分别交于 A，B 两点一个半径为 1.5 的圆 C，圆心 C 从点(0,1.5)开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当圆 C 与直线 l 相切时，求该圆运动的时间解析 设 运动的时间为 t s，则 t s 后圆心的坐标为(

6、0,1.50.5 t)圆 C 与直线 l：y x4，即 4x3y120 相切，431.5.|40 31.5 0.5t 12|32 42解得 t6 或 16.即该圆运动的时间为 6 s 或 16 s.14设有一个半径为 3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为 3:1，此二人在何处相遇？解析 如 图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴 建立直角坐 标系设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇设 D，C 两点的坐 标分别为( a,0)，(0，b)，其中 a3，b3，则 CD方程为 1.设乙的速度为 v，则甲的速度为 3v.依题意，得Error!xa yb解得Error!乙向北走 3.75 km 时两人相遇15某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度 AB 是 36 m，拱高 OP 是 6 m，在建造时，每隔 3 m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长 (精确到 0.01 m)分析 建系 求点的坐标求圆的方程求 A2P

7、2 的长解析 如 图，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点 A，B，P 的坐标分别为(18,0)， (18,0)，(0,6)设圆拱所在的圆的方程是 x2y 2DxEyF0.因为 A，B，P 在此圆上，故有Error!解得Error!故圆拱所在的圆的方程是 x2y 248y3240.将点 P2的横坐标 x6 代入上式，解得y2412 .6答：支柱 A2P2的长约为 12 24.6点评 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决建立适当的直角坐标系应遵循三点：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程16如图，直角ABC 的斜边长为定值 2m，以斜边的中点 O为圆心作半径为 n 的圆，直线 BC 交圆于 P、Q 两点，求证：|AP|2| AQ|2|PQ| 2 为定值证明 如上图，以 O 为坐标原点，以直线 BC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，于是有 B(m,0) ，C (m,0)，P( n,0) ，Q( n,0)设 A(x，y )，由已知，点 A 在圆 x2y 2m 2 上|AP|2|AQ |2|PQ| 2(x n) 2 y2(xn) 2y 24n 22x 22y 26n 22m 26n 2(定值)

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