正常水准面不平行性及其改正数计算
8页1、15.7 正常水准面不平行性及其改正数计算如果假定不同高程的水准面是相互平行的,那么水准测量所测定的高差,就是水准面间的垂直距离。这种假定在较短距离内与实际相差不大,而在较长距离时,这种假定是不正确的。5.7.1 水准面不平行性在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。对于水准面上的单位质点而言,它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。我们把这种随着位置和重力加速度大小而变化的位能称为重力位能,并以 表示,则有W(5-ghW17)式中, 为重力加速度; 为单位质点所处的高度。gh我们知道,在同一水准面上各点的重力位能相等,因此,水准面称为重力等位面,或称重力位水准面。如果将单位质点从一个水准面提高到相距 的另一个水准面,其所做功就等于两水准面的位能差,即 。在图 5-51 中,设hgW、 分别表示两个非常接近的水准面在 两点的垂AhB BA,直距离, 、 为 两点的重力加速度。由于水准面具gA,有重力位能相等的性质,因此 两点所在水准面的位能差 应有下列关系B, W(5-BAhgW18)我们知道,在同一水准面上的不同点重力加速度 值是不同的,因此由式(5-18)可
2、知, 与 必定不相等,也就是说,任何两邻近的水准面之间的距离在不AhB同的点上是不相等的并且与作用在这些点上的重力成反比。以上的分析说明水准面不是相互平行的,这是水准面的一个重要特性,称为水准面不平行性。重力加速度 值是随纬度的不同而变化的,在纬度较低的赤道处有较小的 值,g g而在两极处 值较大,因此,水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆形的曲面。水准面的不平行性,对水准测量将产生什么影响呢?我们知道,水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。在图 5-34 中,地面点 的高程可以按水准路线 各测站测得高差 之和BOABL,21h图 5-332求得,即 OABhH测如果沿另一条水准路线 施测,则 点的高程应为水准路线 各测站测得高差ONBONB之和,即L,21h ONBh测由水准面的不平行性可知 ,因此 也必定不等,也就是说,用水OABhBH测准测量测得两点间高差的结果随测量所循水准路线的不同而有差异。如果将水准路线构成闭合环形 ,既然 ,可见,即使水准测量完NB测测 全没有误差,这个水准环形路线的闭合差也不为零。在闭合环形水准路线中,由于水准面不平行
3、所产生的闭合差称为理论闭合差。由于水准面的不平行性,使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产生多值性,为了使点的高程有惟一确定的数值,有必要合理地定义高程系,在大地测量中定义下面三种高程系统:正高,正常高及力高高程系。5.7.2 正高高程系正高高程系是以大地水准面为高程基准面,地面上任一点的正高高程(简称正高) ,即该点沿垂线方向至大地水准面的距离。如图 5-34 中, 点的正高,设以 表示,BBH正则有(5-BCBdH正19)设沿垂线 的重力加速度用 表示,在垂Bg线 的不同点上, 也有不同的数值。由式BCBg(5-18)的关系可以写出dhH或(5-gB20)将(5-20)式代入(5-19)式中,得图 5-343(5-OABCBdhgdH正21)如果取垂线 上重力加速度的平均值为 ,上式又可写为BCm(5-OABgdhH1正22)从(5-22)式可以看出,某点 的正高不随水准测量路线的不同而有差异,这是因为式中 为常数, 为过 点的水准面与大地水准面之间的位能差,也不随路线而Bmggdh异,因此,正高高程是惟一确定的数值,可以用来表示地面的高程。如果沿着水准路线每隔
4、若干距离测定重力加速度,则(5-22)式中的 值是可以得g到的。但是由于沿垂线 的重力加速度 不但随深入地下深度不同而变化,而且还BCBg与地球内部物质密度的分布有关,所以重力加速度的平均值 并不能精确测定,也不Bmg能由公式推导出来,所以严格说来,地面一点的正高高程不能精确求得。5.7.3 正常高高程系将正高系统中不能精确测定的 用正常重力 代替,便得到另一种系统的高程,BmgBm称其为正常高,用公式表达为(5-dhHBm1常23)式中,g 由沿水准测量路线的重力测量得到; 是水准测量的高差, 是按正常重力Bm公式算得的正常重力平均值,所以正常高可以精确求得,其数值也不随水准路线而异,是惟一确定的。因此,我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。下面推导正常高高差的实际计算公式。首先推导高出水准椭球面 的正常重力的计算公式。在这里,我们把水准椭球mH看成是半径为 的均质圆球,则地心对地面高 的点的引力为R2)(RMfg对大地水准面上点的引力为420RMfg两式相减,得重力改正数 )(12201 Hf)(22R上式右端括号外 项,可认为是地球平均正常重力 ;由于 ,可把2RfM
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