《结构力学》静定结构的内力分析(下)

1、 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。(a)(b)(c) 刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：3-3 静定刚架1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、主从刚架二、常见的静定刚架类型下图所示两跨刚架可先建立投影方程 计算 ，再对 和 的交点O取矩，建立力矩方程 ，计算R A，最后建立投影方程 计算 。Y = 0R CR CR BM O= 0X=0RBxy0ABCO.刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。三、 静定刚架支座反力的计算在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。XA l /2l /2qABCf (

2、a)qfl /2l /2ABC(b)YAYBXBXAqfl /2l /2ABC(b)YAYBXBfl /2C(c)YBXBBXCYC于是O对O点取矩即得：l /2l /2qABCfOABD COO注意 ：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。FRCXDYDFRCO，XDYDOXCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)如右图(a)是一个多跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基本部分。分段：根据荷载不连续点、结点分段。定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标，号；竖标大致成比例。四、刚架的内力分析及内力图的绘制例1. 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和

3、N图。2m2m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力(a)20 kN/mAB4m20 kN/mAB4m160 kNm(b)(c)解。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。40160AB(d)M图（右侧受拉）2m2m40kNBD60 2m2mBD40kN 160kNm16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m8020 60Q图（kN)M图 (kNm）M图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080（下拉 ）8020 60Q图（kN)200B20N图（kN)40160AB160D40M 图 (kNm）2m2m4mABCD40kN20kN/m6020例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。2a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDE解：（1）计算支座反力2a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDE（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图1）杆CD2qa2CD6qaDB00D结点D2）杆DB2qa2M图M图2a 2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDExy3aE4aqB3)杆BE2qAB8qa10qa14qa2M图M图4）杆AB

4、2qa22qa26qa2qa2q2q2qa2CDDBBEBA1082BM图（3）绘制结构M图也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图M图2qa22a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDEQ 图2.4qa10qaN 图3.2qa6qa8qa（4）绘制结构Q图和N图例3 试绘制下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kN40kNmADBE10kN20kN40kNmD2040E40DCE20kNm40kNm402040M图（kNm）qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXMqa1.5aBFD例4. 求绘图示结构的弯矩图。2qaaaqABCqa2/8M图qa2/2QCBQCBCBqa2/2MCqa2/2+ QCBa=0 QBC=QCB=qa/2 QCAQACqa2/2qMCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a=qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a=0qa/20NCBNCAX0，NCB 0Y0，NCAqa/2 作刚架Q、N图的另一种方法首先作出

5、M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。6QDCQ CDDC3.35m3kN9kN2kN2kN66 4.5N图（kN）M图（kN.m） 2 33m3m3mABq=4kN/m1.5mCDE2 1.79 Q图（kN）MD=6QCD3.350 QCD=1.79(kN)=QDCMC=6+3 41.5+3.35QEC0 QEC= 7.16kN ME=6 3 4 1.5+3.35QCE0 QCE= 3.58kN QCEQ EC4kN/mCE3.35m3.58 7.16 9321.79NDC3.13927.16NEC5.8205279. 1558. 3=-=45. 0-=kNNCE0sin)79. 158. 3(cos)13. 3(=+-+=NXCEcos)58. 379. 1 (sin)45. 013. 3(-+=Y校核NCE3.583.131.790.451、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。LLqLqLq qL2q2m2mq2q6q弯矩图的绘制如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出

6、与杆轴线垂直的反力。BABCACD2、简支型刚架弯矩图简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。qL2/2qaqa2/2qa2/2 q l注意：BC杆和CD杆的剪力等于零，相应的弯矩图与轴线平行ql2/2qlq ll/2l/2DqABCaaaqa2/81 反力计算1） 整体对左底铰建立矩平衡方程MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)2） 对中间铰C建立CB矩平衡方程MC=0.5qa2+2aXB-aYB=0 (2)解方程(1)和(2)可得XB=0.5qa YB=1.5qa3） 再由整体平衡X=0 解得 XA=0.5qaY=0 解得 YA=0.5qa2 绘制弯矩图qa2注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求水平反力,然后由支座作起！1/2qa20qqaXAYAYBXBACBaaaaqa/2qa/23、三铰刚架弯矩图1/2qa2YBXB RAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图注意： 1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。3

7、、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/2aACBaaaMABCqL2/4qL2/43/4qLAO整体对O点建立平衡方程得MO=qL1.5L2LXA=0得 XA=3qL/4qLLLBCRB YA三铰刚架弯矩图qaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG4、主从结构绘制弯矩图可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。q=20kN/m2m2m3m4m2m5mABCDEF20kN80kN20kN120 901206018062.5M图 kM.m仅绘M图,并不需要 求出全部反力。然后先由AD支座开始作弯矩图。先由ADY=0 得 YA=80kN再由整体平衡方程X=0得 XB=20kNMEA=806-206/2=12012060180绘制图示刚架的弯矩图AaaaaaaqBYB= 0YA=0XB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 haP2P 2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qaXA=4.5qa5、对称性

8、的利用对称结构在正对称荷载作用下，反力和内力都呈对正对称分 布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称 分布。hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8内力图形状特征1.无何载区段 2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线Q=0区段M图平行于轴线Q图 M图备 注二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M 达到极值发生突变P 出现尖点 尖点指向即P的指向集中力作用截 面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行m集中力偶作用点 弯矩无定义 5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。静定刚架的M图正误判别另外根据这些关系常可不经计算直观检查 M图的轮廓是否正确。 1. M图与荷载情况不符。2.M图与结点性质、约束情况不符。3.作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系， 可在绘制内力图时减少错误，提高效率。q P ABCDE（a）

9、q P ABCDE （b）ABC（e）ABC（f）ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm（3）（5） （ ）（2）（4） （ ）（1）（6） （ ） （9） （ ）题2-1图（10） （ ）（11）（ ）（12） （ ）（7） （ ）（8） （ ）m m速绘弯矩图PaPaa alPaP P P PaPa2m/3m/3m/32m/3 aaamm qa2/2mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2 m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2m m/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPaPaaaa aaPPmaaaaPPPh0 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh拱的实例三铰拱的特点:杆轴为曲线、产生水平反力P2HVAVBP1H三铰拱的类型：平拱、斜拱 基本参数：跨度l、拱高flf曲线形状：抛物线、园、悬链线.一、概述3-4 三铰拱拱顶拱趾高跨比：二、三铰拱的支座反力和内力1、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较P2HAVAVBP1HBP1P2a1 a2b1 b2xxdDVAHP1 d cl1ffyll1l2ccQoMoP1VAHP1QoHM

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