历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
20页1、前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。 )2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)1计算 _,其中区域 由直线 与yxyxDd1)ln()( D1yx两坐标轴所围成三角形区域.解: 令 ,则 , ,vxuy, vuy, vuyxd10detvuyxDD1lnld1)ln()(10200d1)ln(l )ll(uu(*)102d令 ,则ut12t, , ,dt242)1()(2ttu0142d(*)042d)tt 15630t2设 是连续函数,且满足 , 则 _.)(xf 20d)(xfxf )(xf解: 令 ,则 ,20d)(xfA)A,A24283解得 。因此 。4310)(xf3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz2zy解: 因平面 的法向量为 ,而曲面 在0x)1,2(22yxz处的法向量为 ,故),(0yx )1,(),(00yxzzx与 平行,因此,由 , 知1),(,0yzz2xzy2,000,2x 即 ,又 ,于
2、是曲面 在, 5)(z 02z处的切平面方程是 ,即曲面 )(00yz )5(1yx平行平面22x的切平面方程是 。z 02z4设函数 由方程 确定,其中 具有二阶导数,且 ,则)(y9ln)(yfef 1f_.2dx解: 方程 的两边对 求导,得2l)(yfex29ln)(yexfy 因 ,故 ,即 ,因此)(29lnfye1)(1yf222 )()(dfxyyfxyx 322232 )(111)( yfxff 二、 (5 分)求极限 ,其中 是给定的正整数.xenxxe)(lim0解 :因 xenxxenxx ee )1(li)(li 2020 故 nxeeAxnx 20limenenxx 2121li2 因此 enAxenxxe2120)(li 三、 (15 分)设函数 连续, ,且 , 为常数,求(f10d)(txfgAxf)(lim0并讨论 在 处的连续性.)(g)0x解 : 由 和函数 连续知,Axf)(lim0)(xf 0)(lim)(li)0(0xfxff因 ,故 ,1d)(tfgd01tg因此,当 时, ,故xuf0)()( 0)(1limdli)(lim000 ff
3、xfxgx当 时,fufx)(d)(1)(02 2000 d)(lid1lili)( xtfxtfxggxx 2)(lim0Axf1)()(mli 002 ufffufx 这表明 在 处连续.)(四、 (15 分)已知平面区域 , 为 的正向边界,试,|),(yxyDLD证:(1) ;LxyLxy eex ddsinsinsinsin(2) .2sinsin5yy证 :因被积函数的偏导数连续在 上连续,故由格林公式知D(1) yxeyxeyexLx d)()(dsinsinsinsin DxydsisiLxyexdsinsin yxeyDd)()(sinsinxeydsisi而 关于 和 是对称的,即知xDxy)(sinsi yxeDyd)(sinsi因此LxyLxy eex ddsinsinsinsin(2)因 )1(2)!421(ttett 故 2cos5cssinsinsi xxxxx 由 DxyLDxyyy yeee d)(d)(d sinsisinsisinsin知 DxyLDxyyy yxx )(21)(21sinsisinsisinsin xxDyy yeee ddd)(
4、21 sisisisisisi 200sinsi 52co5xx即 sisi dLyye五、 (10 分)已知 , , 是某二阶常系数x21xexxey23线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设 , , 是二阶常系数线性非齐xey21 xyxx23次微分方程 )(fcb的三个解,则 和 都是二阶常系数线性齐次微分方程xey212xey130的解,因此 的特征多项式是 ,而 的c 0)1(20cyb特征多项式是 2b因此二阶常系数线性齐次微分方程为 ,由 和y)(211xfy,xxeey21 xxeey214知, 1)(f )( 2xxeex)二阶常系数线性非齐次微分方程为 xxey2六、 (10 分)设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该抛物cbxayln2210x0y线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的x131cba旋转体的体积最小.解 因抛物线 过原点,故 ,于是cbxayln221233dt)(311002 bax即 )(ab而此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积x1022102 dt)(3(dt)() xaxbV 102103
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