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连续时间最优资产组合选择李爱忠 任若恩（北京航空航天大学经济管理学院，北京 100191）摘要：研究连续时间资产组合选择的最优化问题，运用 Bellman 最优性原理及 HJB 方程构造了一类典型的证券投资组合优化模型，借助随机控制的方法得到相应优化问题的最优投资策略， 针 对 模 型 在 现 实 环 境 中 的 适 应 性 不 足 提 出 了 采 用 GARCH 模 型 来 估 计 时 变 参 数 的 方 法 ，并 在 一定程度上解释了 Canner 难题并验证了行为金融学的某些思想 文中方法可以被用于金融风 险管理和投资基金管理等实际工作中，以便提高决策的科学性 关键词：投资组合；资产配置；HJB 方程；连续时间；随机控制；GARCH 模型引言最优资产组合选择问题是金融经济学中的一个最基本的问题， 这个问题起源于美国金融经济学家诺贝尔奖获得者 Markowitz 的研究投资组合选择就是研究在不确定情况下， 投资者如何将资金分配给不同的资产， 以使得收益率最大与风险最小， 从而寻求整体风险与收益之间的最优均衡关系Markowitz 采用均值-方差模型提出了最优资产配置的一般方法， 引入量化分析方法对风险进行刻画， 奠定了现代金融经济学的基础， 拓展 了风险管理的思路。

经过半个多世纪的发展， 投资组合理论已取得了实质性的进展， 其应用成果层出不穷， 相 应的资产配置模型在具体的投资实践中的有效性也因此成为了一个重要的研究课题一般而言， 资产组合选 择模型可以分为静态和动态两大类，静态的均值-方差方法并不能有效解决投资者的动态投资和消费决策，因此具有一定的局限性Merton 开创了连续时间投资组合理论， 根据动态规划和随机分析方法研究了不确定 环境下的动态资产配置问题， 推动了连续时间的动态优化决策的发展， 揭开了连续时间金融方法论的新序幕 由于连续金融的分析方法在提出问题、 分析问题和最优选择的解析解及其解释的深刻性方面具备一定的优势， 并且基于连续时间意义下的随机规划方法将资产和负债管理结合在一个统一的模型之中， 因此具有一定 的理论上的优势和重要的现实意义本文就是在资产价格满足连续时间刻画的随机微分方程的背景下， 通过 GARCH 族模型建立隐含预测关系的自回归模型， 运用动态规划和随机分析的方法研究资产组合的最优配置 关系， 使得投资者在不确定环境下对有限资源的跨期配置达到最优对于从事实际工作的投资基金管理公司 和金融风险管理机构， 该方法可以有效提高决策的科学性。

研究回顾无论国外还是国内， 投资组合理论得到了极大的发展， 运用随机过程和动态规划的方法进行资产配置的 研究越来越多并取得了许多可喜的成果， 其中 Kusy 和 Ziemba[1]将随机规划模型应用于银行的资产负债管理收稿日期：2012-06-10基金项目：国家自然科学基金项目 （71171009；71031001）；广义虚拟经济专项资助项目 （GX2010-1001（Z））作者简介：李 爱 忠 ，北京航空航天大学经济管理学院博士研究生 ；任 若 恩 ，北京航空航天大学经济管理学院教授 ，博 士 生 导 师 经济与金融中， 给出了基于随机理论的资产配置的一般方法； 朱书尚[2]给出了情景分析的线性规划方法， 得到了投资组合的有效边界和最优策略； 李仲飞和汪寿阳[3]提出了基于均值-方差的多阶段资产配置的金融优化模型， 并对模 型的计算方法等相关问题进行了讨论；Merton[4]，Jarrow 与 Rudd[5]在连续金融优化方面做了很多工作， 研究了含随机过程的最优投资消费问题；Breeden[6]考察了在随机过程刻画的不确定环境下， 投资者连续地做出终身 效用最大化的最优投资决策并得到了封闭解； Munk[7]对随机利率与通货膨胀影响下的资产组合问题进行了研 究， 给出了最优组合配置； Liu[8]研究了带有随机跳跃项的连续时间资产配置问题， 对解的经济意义作出了解 释； 刘金山等研究了由布朗运动刻画资产价格的随机过程， 获得了资产组合的解析表达式和最优选择的封闭 解； 刘宣会将对策论引入随机过程， 构建了随机微分对策模型， 得到基于对数效用函数的最优资产组合策略；刘海龙和吴冲锋[9]建立了最差情况下的最优投资决策的微分对策模型， 解出了基于随机微分对策的最优投资 策略； 张淑英等[10]构建了随交易成本、 消费情况和收入变化的投资组合非交易的变化区域从而拓展了 Merton 模型； 杨瑞成等[11]根据最优化原理， 研究了含跳跃项的组合配置问题， 得到了最优投资消费策略及其最大效用 期望值； 郭文旌[12]采用验证性方法得到了均值-方差型的连续时间最优配置策略； 郭文旌等[13]根据欧式期权定价模型的假设条件， 解出了含期权的套期保值策略和最优投资策略； 陈宝群等[14]发现了两阶段方法拓展了求 解最优化投资组合问题的思路， 研究了布朗运动驱动下的资产组合问题； 万树平[15]分析了带双跳的资产价格 行为， 讨论了最大化终期财富的最优投资策略的充分和必要条件； 朱微亮考虑了突发事件和可变参数对资产 组合选择的影响， 得到了最大化效用的最优投资比例； 李晗虹研究了利率和通货膨胀影响的投资组合问题， 得出了资产配置的结果将随利率和通货膨胀的变动而发生非线性变化的结论； 杨云红等[16]分析了投资消费策略、 资产价格与经济增长的关系， 从资本资产定价的角度解释了风险溢价的原因。

毋庸置言， 连续时间金融模 型虽然需要用到较为复杂的数学知识，然而它却能够更加精确地描述资产价格的动态行为和证券市场的时 变特征， 产生更适应的先验假设和更符合逻辑的理论解释， 为后续的研究者在继续前行的金融领域提供了一 种用途极广的应用工具传统连续时间投资组合理论的研究大都围绕于布朗运动所刻画的微分方程来讨论，且假定方程中的收 益率均值和方差是恒定的然而， 在现实证券市场中， 证券收益具有非常强的时变特性， 静态的投资组合模型 均不能充分满足投资组合管理实践的需要， 这就要求投资决策方法也具有随时间变化的特性， 投资者由于受 未来收益不确定性的影响以及自身风险偏好的不同，决策的可能结果不止一种，直接导致大量不确定性产 生， 使得连续时间投资组合理论构造的投资模型并不能很好地反映实际情况实际资产价格的变化往往还存在尖峰厚尾现象， 并不是简单服从正态分布和其价格波动的方差不随时间变动， 进一步导致了连续时间投资 组合理论在现实环境中的适应性不足本文正是在充分研究证券市场的这些特性后， 采用 GARCH 族模型来 估计时变参数， 把预测关系、 时变递推决策规则引入投资组合模型以便反映未来预期变化， 构建了一种基于 均值回复的隐含预测关系的模型来解决连续时间资产组合的选择问题，给出了不同投资期下风险资产配置 的最优解。

同时， 运用随机控制论的方法， 构建了连续时间下的资产组合优化和非系统性风险分散的方法， 以期给投资者获得最大限度的投资回报从某种意义而言， 只有正确地构建具有较高投资收益性的投资组合， 加强和提高对投资组合选取的能力， 才能尽可能地提高证券投资组合的收益率并分散和消除非系统性风险， 使得在竞争日趋激烈的证券市场中立于不败之地因此， 结合我国的实际情况， 深入研究投资组合理论， 采用 新的方法对上述理论与方法进行改进， 探索这些理论在我国的应用前景， 进而提高投资组合的管理水平， 增 强风险防范能力， 无疑大有裨益问题的提出及模型的建立所谓最优资产组合选择问题， 确切地说就是投资者在财富动态随机方程和投资机会集的约束下， 选择最 优投资组合使自己的终期财富的期望效用最大最早这方面的研究要归功于 Samuelson 与 Fama， 他们分别在1969 年和 1970 年中研究了离散时间的投资消费问题， 随后，Merton 对连续时间情形做了大量的研究， 他应 用随机动态规划原理， 得到由一个非线性偏微分方程和两个代数方程组成的控制方程本文在认识到传统资 产配置理论的不足之后， 试图对模型进行改进， 以使资产配置模型能更接近实际问题。

考虑风险资产和无风No.0 （01 ）6Vol.258管理评论3 23经济与金融险资产两种资产的投资组合问题， 并且在假定基于财富效用函数边际效用递减的情况下， 运用 Bellman 最优性原理及 HJB 方程构造了一类典型的资产组合选择模型， 通过积极管理、 配置和调整投资组合， 谋求投资组 合资产最大限度的保值增值 1、 效用的定义效用是丹尼尔·伯努利在 1738 年的论文里解释圣彼得堡悖论时提出的， 主要涵盖两方面内容即边际效 用递减原理和最大效用原理也就是其效用函数的一阶导数大于零和二阶导数小于零， 投资者将最大期望效 用值作为最优决策的行为准则而非最大期望金额值， 金额只是影响其效用的决策变量之一经济学家一般以 期望效用函数理论为出发点， 针对不确定性情境下各种可能出现的结果， 计算概率分布的期望值， 效用函数由于具有自返性、 完备性、 连续性、 传递性和独立性等良好性质， 被经济学家一直沿用至今本文假设投资者 的效用函数为风险规避型， 采用基于双曲绝对风险厌恶函数族的幂效用函数来描述投资者的风险规避特征 2、 基于连续时间的投资组合选择假设证券投资基金初始财富为 X0， 市场上有一种无风险资产和若干种证券可供选择， 无风险资产和风险 资产的价格过程满足随机微分方程：dp（0 t ） =rp（0 t ） dt， t∈[0， T] dp（1 t ） =p（1 t ） （udt+σdW）t（1 ）其中， Wt 表示 Brown 运动， 参数 r 是风险资产的平均收益率， u 和 σ 分别是风险资产的瞬时条件期望收益率和 条件风险方差， 并假设它们均为常数。

投资管理者在允许卖空的条件下将初始资金分为两部分： 一部分投资风险证券， 所占比例为 π； 剩下部分 以 1-π 的比例买进无风险证券， 则可建立如下的随机微分方程模型刻画投资者在 t 时刻的总财富：dXt=Xt（[ πu+（1-π） r ）dt+πσdWt]X0=x（2 ）令 V（t，x）＝maxEt [U （x ） ]（3 ） 式中 U （x ） 为给定的效用函数， Et 表示起始时间为 t 的条件期望算子， 显然， 最优投资策略为寻找合适的 π* 使 得 （3 ） 式在满足 （2 ） 式刻画的财富随机微分方程的条件下达到最大值即：∈maxE t[U（x） ]∈ ∈ ∈∈（4 ）∈dXt =Xt（[ πu+ （1-π ） r ） dt+πσdWt]∈ ∈ ∈∈X0=x ∈最优投资策略1、 模型求解下面运用 Bellman 最优性原理及 HJB 方程来对最优的投资组合策略进行研究， 求解其最优投资问题显式 解上述优化问题对应的 HJB 方程为0=Vt+max {VX[πu+ （1-π ） r]x+ 1 Vxxπ2σ2x2}（5 ）2π（·）终止条件为： V （t，x）=U（x） ， V （t，0）=U（0） 根据 Bellman 最优性条件得到π（t，x）=-（u-r ） Vx（/ Vxxσ2x ）（6 ）将式 （6 ） 代入上面的 HJB 方程 （5 ） 可得Vx2Vt+rxVx-（u-r ）2=0（7 ）2σ2Vxx 对于上面的微分方程， 应用待定系数法， 令解具有下面形式 V（t，x）＝A（t）xα（8 ）No.03（013 ） 6MT REVIEWol.25ANAGEMENV29经济与金融其中， 0X0， 则投资于无风险资产的资本应该是 X0-X0<0， 说明投资者应该σ（2 1-α）σ（2 1-α）u-r向银行借款X0-X0 一并投资于风险资产， 可使得投资者财富效用在 t 时末达到最大。

代表这类型的投σ（2 1-α）资者可谓是激进型的投资者， 他们愿意借入资金， 投资于一个最优风险资产组合， 以达到完整的资产组合期 望收益。