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物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 11第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续第一章的知识内容就已让我们体会到了了数学的三个基本特征：抽象性、演绎性和应用性. 其基本 概念抽象的高度已使我们感到了理解的难度；它论证方法上的演绎性使第一章构成了一个形式体系—— 函数、极限与连续，其中的定义、定理环环相扣，并演绎出许多公式和结论；其中许多概念的抽象背景 是我们看到其应用价值. 第一章这三部分知识内容的对掌握好大学数学有着不可低估的作用. 一、内容小结一、内容小结 本章的知识内容可分为三部分：( (一一) ) 函数函数这一部分所含的知识是培养和积累方法的起点，这些知识点在处理问题时常能够成为思路的诱发点， 在某些综合型的习题中，也常成为解题成功的关键，所以一定要吃透本部分所包含的概念，例如：函数 的定义、函数单调性、有界性、反函数、复合函数、初等函数等概念以及它们的性质，即尽量从背景、 代数(数值)、几何、逆否命题、所涉及的典型题型等多角度地去理解它们. 不一一赘述，应根据自己掌握的情况，有针对性地强化. 只强调几个点： 1. 函数在某区函数在某区间间有界的概念有界的概念：(1)定义； (2)几何解释； (3) 既有上界又有下界； (4)无界的概念及其几何解释.2. 反函数的概念：反函数的概念：除了对定义和其存在条件的理解，还要理解到反函数有两种记号：(1) 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称；)(xfy )(1xfyxy (2) 函数与互为反函数，它们的图象相同，且定义域与值域具有对偶性.)(xfy  )(1yfx两种记号都有使用，遇到时，应注意其场合中采用的是哪种记号.3. 复合函数：复合函数：除了对定义的理解外，要特别注意其关于分段函数复合运算的题型.4. 初等函数：初等函数：分段函数未必不是初等函数.( (二二) ) 极限极限极限是研究函数最基本、最主要的方法，极限概念的本质是描述在自变量的某一变化过程中，函数 的变化趋势. 在描述这种变化趋势时，常用的“无限” 、 “充分”和“足够”等词都表达了一种动态性质. 这里包含着极其深刻的辩证关系，如变量与常量，无限与有限，近似与精确、过程与结果等对立统一关 系. 后面的微分、积分及级数概念的引进，都与极限概念有密切的关系，而且这些概念引进后，就会反 过来用这些知识来充实求极限的方法.1. 定定义义及其等价及其等价说说法法(1) 再强调两点：(2) 共有七种不同极限过程的定义形式，必须理解每种的几何解释.(3) 其等价的说法  — (X) 型定义  单侧(边)极限存在且相等  ()( )lim0f xA  海涅归并原理(主要用于求数列极限时的转化).[]lim( )0f xA常用的主要有是前三种.2. 基本性基本性质质(1) 唯一性； (2) 局部有界性(对数列就是有界性)； (3) 局部保号性(对数列就是从某项开始).3. 运算性运算性质质 —— 注意可运算的条件、以及运算都是有限项才能进行.(1) 四则运算（ 数乘与乘方运算） ； (2) 复合运算.4. 无无穷穷小与无小与无穷穷大大—— 均可视为特殊类型的极限.(1) 概念—— 都可以给出七种不同极限过程的定义形式； (2) 三个关系： ① 无穷小与极限：；()lim( )( )lim0f xAf xA其中 ② 无穷小与无穷大：互为倒置. 在极限运算中，无穷大不能直接进行运算，但其倒置为无穷小可① 极限不存在与极限不等于 A 是否一回事. ② 极限是一个局部性的概念，仅与函数在点附近的取值有关.0xlim( )f xA物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 22以； ③ 无穷大与无界：无穷大是无界函数，但无界函数未必是无穷大.(3) 运算性质——其中“有界量×无穷小量=无穷小量”可直接用于求极限；(4) 等价无穷小 —— 概念与性质.， 例如，可有， 等.)(sinxxx( (三三) ) 连续连续1. 连续连续的定的定义义及其等价定及其等价定义义 在x 0处连续   …)(xf0)]()([lim000 xfxxf x 0] )()([lim00xfxfxx  两个存在且相等  三个存在且相等  “”型定义   函数y = f (x) 在点 x0左连续且右连续  ，其中.)()(0xfxf)(00xx2. 运算性运算性质质 ① 四则； ② 反函数； ③ 复合函数—最重要：连续函数运算于极限运算可交换顺序. 3. 连续连续函数的函数的闭闭区区间间性性质质 注注 闭区间上的连续函数的值域一定是闭区间.4. 间间断的概念断的概念 二、题型分析题型分析( (一一) ) 极限题极限题1. 证证明明题题： ： (1)(1) 求证具体函数以值 A 为极限 ——使用“ - (X)型定义”为简化证明要注意两点： ① 根据  的可任意小性对其进行合理限制，如 P13 例 3 就限定据  <1，但注意数量指标的选取；② 利用极限概念的局部性对自变量的取值范围进行合理的限制，如 P16 例 7；(2)(2) 在极限存在的条件下，证明某结论成立如唯一性、保号性等定理；或证明另一极限存在，如 P18 习题 1-2 题 3-5.2. 求具体函数的极限求具体函数的极限 —— 所见过的方法： ① 恒等变形(通分、通分、约约分、倒置、有理化分、倒置、有理化(用于含根式差的函数用于含根式差的函数))； ② 连续性；③ 洛必达法则(第三章第二节)； ④ 两个重要极限； ⑤ 等价代换 (: ； ；0x212()~cosxx()11 xx :,…) 注注 要注意正确的使用等价无穷小替换，它仅适用于求乘积或商的极限，两个函数相减时不能滥用等价无穷小替换. ⑥ 时多项式比多项式； x⑦ M×0； ⑧ 幂指函数； ——主要是三个方法主要是三个方法特特别别地：地： 若若， ，， ，则则 (同同样结论样结论于于连续连续性也成立性也成立)；0)(lim   AxuBxv )(limBvAu  lim第一类第二类)()(lim00xfxfxx0lim0yx)(21cos22xxx)()(0lim~最值 Th --→有界 Th 介值 Th --→零点 Th可去 ——；000()()()00f xf xf x 跳跃 ——；00()()00f xf x无穷 ——；)(limxf 震荡 ——震荡发散.)(limxf闭闭区区间间上的上的连续连续函数必取到介于其函数必取到介于其 最大最大值值和最小之和最小之间间的任意的任意实实数数.——基基础础方法方法——⑥-⑨四四类类特殊函数特殊函数 用用对对数法数法转转化化为为乘乘积积； ； 转转化化为为指数函数和指数函数和对对数函数的复合函数数函数的复合函数； ；uvvulne 符合形式符合形式时时，利用重要极限，利用重要极限.11()1()xxxe1111()()limlim——三个最重要方法三个最重要方法  ()()tan , arcsin , ln 1,1, 211xxxxxx:e()tan , arcsin , ln 1,1,xxxxx:e1ln ,xaxa :物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 33 若若,， ，则则 (P40 总习题 3.(12)). :: ；⑨ 讨论左右极限 用于分段函数和用于分段函数和时时的指数函数和反正的指数函数和反正、 、余切函数余切函数,如如 P39 总习题 1.(6),2.(6).x 一般地，时，指数函数的极限 不存在，因为 ， . 特别( ) x 地，不存在. 类似地，反正(余)切函数的极限和也不存在. 如 P39 总limxx e( )lim arctan( )xx( )lim arccot( )xx习题 2.(6),(7).⑩ 变量代换(要要换换极限极限过过程程)；用准则 2 (有有递递推公式的数列推公式的数列)；○11迫敛定理( 即准即准则则 1——用于含乘方或用于含乘方或阶阶乘形式的函数乘形式的函数).○123.3. 已知极限确定原式中的某些常数 —— 常用的方法有：① 利用多项式比的极限存在的条件，如 P39 总习题 1.(8),(9)、4.；( )lim( )n xmxP Qx② 利用极限 存在的条件，如 P39 总习题 2.(2),(3)；③ 利用无穷小阶的概念，如，已知某函数是时关于x的 k 阶无穷小，求函数中所含的未知常x 数.（二）（二）连续性连续性 1.讨论讨论函数的函数的连续连续性性 ① 分段函数② 带绝对值函数的连续性 ——转化为分段函数.③ 非初等函数函数的连续性——例如，P39 习题 1-6 题 8. 2. 间间断点的判定断点的判定—— ① 任何结论都必须根据定义给出； ② 注意结论的完整性.3. 利用函数的利用函数的连续连续性求函数中的某些常数性求函数中的某些常数——例如，P39 总习题 2.(7).( (三三) ) 关于无穷小阶的问题关于无穷小阶的问题 ——按定义做，即通过它们比的极限值判定. 1. 比比较较两个无两个无穷穷小小阶阶的高低；的高低； 2. 判定某函数是否判定某函数是否为为时时关于关于x的的 k 阶阶无无穷穷小小.x( (四四) ) 证明题证明题 ——应用闭区间上连续函数的四个性质，主要是介值定理和零点定理. 1. 确定方程在确定方程在给给定区定区间间上有无上有无实实根根，或讨论连续函数在给定区间上零点的个数.2. 求求证证关于某介关于某介值值的等式成立的等式成立. 四、举例四、举例例例 1 1 判断下列命题的正误：(1) 周期函数必有最小周期； (2) 若与互为反函数，则；( )yf x( )yg x[ ( )]f g xx (3) 分段函数不是初等函数； (4) 若；数列中仅有有限多项不满足，则数列必以a为极限；0{}nx||nxa{}nx(5) “若；总，使得时，恒有，则数列必以a为极限”是数,()0 1NnN||2nxa{}nx列收敛于a的充分必要条件；{}nx (6) 任意两个同一过程下的无穷小量都可以比较其阶的高低； (7) 不存在最高阶的无穷小，也不存在最低阶的无穷小； (8) 两个无穷大的和仍是无穷大； (9) 函数在一点连续是否意味着在点的某个邻域中处处连续；( )f x0x( )f x0x(10) 设在点连续，则 在点也一定连续.( )f x0x| ( )|f x0x解解(1) 错. 例如狄利克雷函数，由于对任意的正有理数，都有，故它没有最小周T()( )xxDTD分段点处的连续性整个函数的连续性两侧表达式一致 ——讨论；)(?)(lim0xfxf两侧表达式不一致 ——讨论左右连续性.讨论除。