年注册岩土工程师基础考试培训资料无穷级数和微分方程ppt课件.ppt

无穷级数无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和1.数项级数及收敛定义：数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的普通项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收收敛 ,那么称无穷级数并称 S 为级数的和 等比级数(又称几何级数)( q 称为公比 ). 级数收敛 ,级数发散 .其和为P-级级数数2.无穷级数的根本性质无穷级数的根本性质 性性质1.设 c 是非零常数，那么是非零常数，那么级数数收敛于 S ,那么有一样的敛散性假设与收敛于 c S .性性质2. 设有两个收有两个收敛级数数那么级数也收敛, 其和为阐明阐明:(2) 假设两级数中一个收敛一个发散 , 那么必发散 . 但假设二级数都发散 ,不一定发散.(1) 性质2 阐明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.性性质5：：设收收敛级数数那么必有可见: 假设级数的普通项不趋于0 , 那么级数必发散 .*例例1.判别以下级数的敛散性判别以下级数的敛散性: (比比较审敛较审敛法法)设且存在对一切有(1) 假设强级数那么弱级数(2) 假设弱级数那么强级数那么有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .是两个正项级数, (常数 k > 0 ),3.正项级数审敛法正项级数审敛法 (比较审敛法的极限方式)那么有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 设两正项级数满足(1) 当 0 < l <∞ 时,的敛散性. 例例3. 判判别级数数解解:根据比较审敛法的极限方式知发散比值审敛法 ( D’alembert 判别法)设 为正项级数, 且那么(1) 当(2) 当时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .. 根根值审敛值审敛法法 ( Cauchy判判别别法法)设 为正项级数, 且那么因此级数收敛.解解:4.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 那么各项符号正负相间的级数称为交错级数 . ( Leibnitz 判判别别法法 ) 假设交错级数满足条件:那么级数收敛 。

5.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定定义: 对恣意恣意项级数数假设假设原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 那么称原级收敛 ,数绝对收敛 ；那么称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数例例5. 证明以下级数绝对收敛证明以下级数绝对收敛 :证: 而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .判别数项级数敛散的方法判别数项级数敛散的方法1、利用知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1〕比值审敛法〔根值审敛法〕2〕比较审敛法〔或极限方式〕5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、普通级数审敛法：先判别能否绝对收敛，假设绝对收敛那么一定收敛；否那么判别能否条件收敛发 散发 散收 敛收敛 发散 1.Abel定理定理 假设幂级数那么对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 假设当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,那么对满足不等式二、求幂级数收敛域二、求幂级数收敛域*例例6.知知幂级幂级数数在处收敛，那么该级数在处是收敛还是发散？假设收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。

例例7. 知知处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在收敛 ,时发散 . 故收敛半径为假设的系数满足1) 当 ≠0 时,2) 当 ＝0 时,3) 当 ＝∞时,那么 的收敛半径为2.求收敛半径求收敛半径对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例例8..8..求幂级数求幂级数 例例9.的收敛域.解解: 令令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;当 t = – 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形〔假设需求的话〕2、利用知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围的幂级数展开式展开成解：例例10.求函数求函数四、求幂级数的和函数四、求幂级数的和函数这是幂级数展开问题的逆问题，利用知结论或求导积分，求幂级数在收敛域内的和函数微分方程微分方程一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念二、解微分方程二、解微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念的阶.例如：例如：一阶微分方程二阶微分方程— 使方程成为恒等式的函数.通解通解 — 解中所含独立的恣意常数的个数与方程— 确定通解中恣意常数的条件.初始条件初始条件( (或或边值条件条件):):的阶数一样.特解特解微分方程的解 — 不含恣意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线.例例1. 验证函数验证函数是微分方程的解.解解: : 是方程的解 .二、解微分方程二、解微分方程1. 一阶微分方程可分别变量，一阶线性2. 高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的构造，二阶线性常系数齐次微分方程求解。

分别变量方程的解法分别变量方程的解法:(2)两边积分 ①②(3)得到通解称②为方程①的隐式通解, 或通积分.(1)分别变量*例例2. 求微分方程求微分方程的通解.解解: 分分别变量得量得两边积分得即( C 为恣意常数 )因此能够增、减解.一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程规范方式:假设 Q(x)  0, 假设 Q(x)  0, 称为非齐次方程 .称为齐次方程 ;解解* *例例3.3.利用一利用一阶线性方程的通解公式得：性方程的通解公式得：令因此即同理可得依次经过 n 次积分, 可得含 n 个恣意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 例例5.求解求解 解解: 型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为那么得再一次积分, 得原方程的通解例例6. 求解求解解解: 代入方程得分别变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分别变量后积分, 得原方程的通解例例7. 求解求解代入方程得两端积分得故所求通解为解解:定理定理 1.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 那么数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解且常数, 故方程的通解为二阶线性齐次方程解的构造二阶线性齐次方程解的构造特征方程:实根 特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解例例9.的通解.解解: 特征方程特征方程特征根:因此原方程的通解为例例10. 求解初求解初值问题解解: 特征方程特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例例11.的通解. 解解: 特征方程特征方程特征根:因此原方程通解为例例12.解：因是一个特解，所以是特征方程的重根，故特征方程为：所对应微分方程为二阶线性非齐次方程解的构造二阶线性非齐次方程解的构造 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 2.那么是非齐次方程的通解 .②①。