高考数学 满分案例三　立体几何.docx

满分案例三　立体几何【真题示例】(2024·新高考Ⅰ卷)(15分)如图, 四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, PA=AC=2,BC=1, AB=3.(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为427,求AD.标准答案阅卷现场【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD 1分①又因为AD⊥PB,PA∩PB=P,所以AD⊥平面PAB 2分②故AD⊥AB 3分③因为AC=2,BC=1,AB=3,所以BC⊥AB 4分④故AD∥BC 5分⑤因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC 6分⑥(2)因为AD⊥DC,所以以D为坐标原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴,过点D作PA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,如图 7分⑦设AD=a>0,则DC=4-a2,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,4-a2,0),P(a,0,2) 10分⑧设平面DCP的法向量n1=(x1,y1,z1),因为=(0,4-a2,0),=(a,0,2),所以由,即4-a2·y1=0ax1+2z1=0,可取n1=(2,0,-a) 11分⑨又=(0,0,2),=(-a,4-a2,0),设平面ACP的法向量n2=(x2,y2,z2),所以,所以2z2=0-ax2+4-a2y2=0,取n2=(4-a2,a,0) 12分⑩因为二面角A-CP-D的正弦值为427,所以余弦值的绝对值为17.所以由|cos|=17=|n1·n2||n1|·|n2|=24-a224+a2 13分⑪得a2=3,a=3,因此,AD=3 15分⑫(1)(6分)①由线面垂直得线线垂直得1分;②证出AD⊥平面PAB得1分;③写出AD⊥AB得1分;④证出BC⊥AB得1分;⑤证出AD∥BC得1分;⑥证出结论得1分;【评分细则】1.未写出PA与PB相交于点P扣1分;2.证出AD⊥平面PAB给2分,否则给PA⊥AD1分;3.没有写出AD⊄平面PBC,扣1分;4.结论不单独给分;5.若用向量法证明,正确得全分;(2)(9分)⑦正确建立空间直角坐标系得1分;⑧写出所需要的点的坐标正确得3分;⑨求出平面DCP的法向量正确得1分;⑩求出平面ACP的法向量正确得1分;⑪根据二面角的正弦值列出两法向量的夹角公式得1分;⑫计算结果正确得2分;【评分细则】1.空间直角坐标系无论左手系是右手系正确即可得1分;若无文字说明,图象有体现不扣分;2.采用左手系结果正确得全分,错误按步骤得分;3.采用几何法结果正确得全分;4.夹角公式写出单独得1分,结果错误扣1分.。