高考数学 中档大题练1.docx

中档大题练1(限时40分钟)1.已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3ba=1-cosBsinA.(1)求角B的大小;【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得,3sin Bsin A=sin A-sin Acos B.因为A∈(0,π),sin A≠0,所以3sin B=1-cos B,所以3sin B+cos B=2sin(B+π6)=1,即sin(B+π6)=12,又B∈(0,π),B+π6∈(π6,7π6),则B+π6=5π6,所以B=2π3.(2)若△ABC的面积等于3,D为BC边的中点,当中线AD的长最短时,求AC边的长.【解析】(2)由(1)得S△ABC=12acsin 120°=34ac=3,所以ac=4,在△ABD中,由余弦定理可得:AD2=c2+(a2)2-2c·a2·cos 120°=c2+(a2)2+ac2≥3ac2=6,当且仅当c=a2=2,即a=22,c=2时,等号成立,此时AC2=a2+c2-2accos 120°=8+2-2×22×2×(-12)=14,故AC=14.2.如图,P在平面ABC上的投影为点C,AC⊥BC,AB=2PC,D,O分别为线段PA,AB的中点,PO与BD交于点E,F是PC上的一个点.(1)若EF∥平面ABC,求PFFC的值;【解析】(1)因为D,O分别为线段PA,AB的中点,所以BD和PO的交点E为△PAB的重心,所以PEEO=2,因为EF∥平面ABC,EF⊂平面PCO,平面PCO∩平面ABC=CO,所以EF∥CO,所以PFFC=PEEO=2;(2)若PF=FC,AB=2CB,求二面角F-BE-C的正弦值.【解析】(2)设BC=2,则AB=4,PC=2,CF=1,由题意可知PC⊥平面ABC,AC⊥BC,以点C为坐标原点,以CA,CB,CP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则F0,0,1,B0,2,0,C0,0,0,A(23,0,0),P(0,0,2),E(233,23,23),设平面FBE的法向量为n=(x1,y1,z1),=0,2,-1,= (233,-43,23),则即2y1-z1=0,233x1-43y1+23z1=0.取y1=1,可得n=0,1,2,设平面CBE的法向量为m=x2,y2,z2,=0,2,0,则,即2y2=0233x2-43y2+23z2=0,取x2=1,可得m=1,0,-3,因为cos =m·nm·n=-232×5=-155,则sin =1-cos2=105.因此,二面角F-BE-C的正弦值为105.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点M与椭圆C的左、右焦点F1,F2构成一个等边三角形,过F1且垂直于MF2的直线与椭圆C交于D,E两点,且△MDE的周长为8.(1)求椭圆C的方程;【解析】(1)由△MF1F2是等边三角形,得a=2c,由于DE⊥MF2,所以DM=DF2,EM=EF2,从而△MDE≌△F2DE,根据椭圆定义,可知△MDE的周长为4a=8,得a=2,所以c=1,b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设P,Q是椭圆C上的两个动点,且OP⊥OQ,过点O作OH⊥PQ,交直线PQ于H点,求证:点H总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.【解析】(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线PQ斜率不存在时,且OP⊥OQ,则点P,Q关于x轴对称,所以lOP:y=x或y=-x,与椭圆C方程x24+y23=1联立,得x2=127,即OH2=127;当直线PQ斜率存在时,设方程为y=kx+m,联立方程组y=kx+m3x2+4y2=12,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)>0,解得m2<4k2+3,由根与系数的关系得,x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=3m2-12k23+4k2,由于OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=4m2-123+4k2+3m2-12k23+4k2=0,则m2=12(k2+1)7,又OH2为点O到直线PQ的距离的平方,所以OH2=d2=m21+k2=127,所以点H总在以原点为圆心,以127为半径的圆上,其方程为x2+y2=127.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,S3=2S2+1,a2n+1=2an+3,n∈N*.(1)求an的通项公式;【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由S3=2S2+1,可得3a1+3d=2(2a1+d)+1,即a1-d+1=0①.又因为a2n+1=2an+3,n∈N*,取n=1,所以a3=2a1+3,即a1-2d+3=0②,由①②可得a1=1,d=2.故an的通项公式为an=2n-1.(2)设数列bn满足b1+3b2+…+(2n-1)bn=nn∈N*,记数列-1n4n·bnan+1的前n项和为Tn,求Tn.【解析】(2)(2)由b1+3b2+…+(2n-1)bn=n,n=1时,可得b1=1,n≥2时,b1+3b2+…+(2n-1)bn=n,b1+3b2+…+(2n-3)bn-1=n-1(n≥2),上述两式作差可得bn=12n-1(n≥2),b1=1时上式也成立,所以bn=12n-1n∈N*.所以(-1)n4n·bnan+1=(-1)n4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n12n-1+12n+1.当n为正偶数时,Tn=-1+13+13+15-15+17+…-(12n-3+12n-1)+(12n-1+12n+1),所以Tn=-1+12n+1=-2n2n+1.当n为正奇数时,Tn=-1+13+13+15-(15+17)+…-(12n-1+12n+1),所以Tn=-1-12n+1=-2n+22n+1.故Tn=-2n2n+1,n为正偶数-2n+22n+1,n为正奇数.。